Dhshhshsh

YKS TYT
1

1742480455225351944569146605592
1742480455225351944569146605592720×960 21.6 KB

2

Buna göre, f fonksiyonunun değer kümesinden rastgele seçilen bir elemanın görüntü kümesinde olma olasılığı kaçtır?

Cevap:

1. Adım: Fonksiyonun Tanımı ve Verilenler

  • Fonksiyon:
    f(x) = x^2 - 4x + 1
  • Tanım Kümesi (Domain): [-7, 3]
  • Verilen Kodomin (Değer Kümesi): [-81, 162]
  • Aranan: Bu kodominden rastgele seçilen bir sayının gerçek görüntü kümesine (range) ait olma olasılığı.

2. Fonksiyonun En Küçük ve En Büyük Değerlerini Bulma

Bu fonksiyon, a=1 > 0 olduğundan yukarı doğru açılan bir paraboldur. Minimum değer tepe noktasında, maksimum değer ise uç noktalarda (tanım kümesinin uçlarında) ortaya çıkar.

  1. Tepe Noktası (Minimum Değer)

    • Tepe noktasının x değeri, -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
      Burada a = 1 ve b = -4 olduğundan:
      x_{\text{tepe}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2
    • Tepe noktasındaki fonksiyon değeri:
      f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 4 - 8 + 1 = -3
    • Dolayısıyla minimum değer = -3.

  2. Uç Noktaları Kontrol Etme

    • x = -7 için
      f(-7) = (-7)^2 - 4(-7) + 1 = 49 + 28 + 1 = 78
    • x = 3 için
      f(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 1 = 9 - 12 + 1 = -2
    • Bu değerlere bakıldığında, fonksiyonun maksimum değeri = 78 (çünkü 78, -2’den büyüktür).

3. Fonksiyonun Gerçek Görüntü Kümesi (Range)

  • Minimum değer: -3
  • Maksimum değer: 78
  • Dolayısıyla gerçek görüntü kümesi:
    $$\text{Range} = [-3, , 78]$$

4. Olasılık Hesabı

  • Kodomin (değer kümesi): [-81, 162]
  • Kodomin uzunluğu:
    $$162 - (-81) = 162 + 81 = 243$$
  • Gerçek görüntü kümesi uzunluğu:
    $$78 - (-3) = 78 + 3 = 81$$
  • İstenen olasılık, görüntü kümesinden seçilen bir sayının (kodomin içinden seçildiğinde) gerçekten fonksiyonun görüntü kümesine düşme olasılığıdır:
    \frac{\text{Görüntü Kümesi Uzunluğu}}{\text{Kodomin Uzunluğu}} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}.

5. Özet Tablo

Aşama İşlem / Sonuç
Tanım Kümesi [-7, 3]
Kodomin (Verilen Değer Kümesi) [-81, 162]
Minimum Değer (Tepe Noktası) f(2) = -3
Maksimum Değer (Uç Noktalarda) f(-7) = 78
Gerçek Görüntü Kümesi [-3, 78]
Kodomin Uzunluğu 162 - (-81) = 243
Görüntü Kümesi Uzunluğu 78 - (-3) = 81
Olasılık 81 / 243 = 1/3

6. Kısa Özet

Fonksiyon f(x) = x^2 - 4x + 1 çoklukla bir paraboldür ve tanım kümesi [-7,3] olduğunda görüntü kümesi [-3,78] aralığıdır. Kodomin ise [-81,162] olarak verilmiştir. Kodomin içinden rastgele seçilen bir sayının fonksiyonun gerçek görüntü kümesinde olma olasılığı, bu iki aralığın uzunluklarının oranı olan 81/243 = 1/3 olarak bulunur.

@Iklima_Arslan