f(x) = |x² – 4x| – 1 fonksiyonunun görüntü (çıktı) kümesini nasıl bulabiliriz?
Cevap:
Bu fonksiyonun çıktıları (görüntü kümesi) aşağıdaki adımlarla analiz edildiğinde [–1, ∞) elde edilir.
Adım Adım Çözüm
1. Fonksiyonun Parçalara Ayrılması
Fonksiyonumuz:
[
f(x) ;=; |,x^2 - 4x,| ;-; 1
]
Absolute değeri (mutlak değer) iki ayrı koşul altında incelenebilir:
- İçerideki ifade x^2 - 4x \ge 0 olduğunda,
[
f(x) = (x^2 - 4x) - 1
] - İçerideki ifade x^2 - 4x < 0 olduğunda,
[
f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -,x^2 + 4x - 1
]
Öncelikle x^2 - 4x = x(x - 4) denkleminin kökleri x=0 ve x=4 olarak bulunur. Bu yüzden:
- x ≤ 0 veya x ≥ 4 aralığında x^2 - 4x ≥ 0
- 0 < x < 4 aralığında x^2 - 4x < 0
2. Birinci Durum: (x ≤ 0 veya x ≥ 4)
Bu aralıkta
[
f(x) = x^2 - 4x - 1.
]
- x = 0 noktasında
[
f(0) = 0^2 - 4\cdot0 - 1 = -1.
] - x = 4 noktasında
[
f(4) = 4^2 - 4\cdot4 - 1 = 16 - 16 - 1 = -1.
] - x → –∞ veya x → +∞ gidince x^2 terimi baskın hale geldiğinden f(x) \to +∞.
Dolayısıyla bu bölgede fonksiyonun değeri –1’den başlar ve artarak +∞’ye uzanır.
3. İkinci Durum: (0 < x < 4)
Bu aralıkta
[
f(x) = -,x^2 + 4x - 1,
]
yani aşağı doğru açılan bir parabol. Parabolün tepe noktası (maksimum değeri) için türev veya tepe noktası formülünü kullanabiliriz:
-
Tepe noktası x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2
-
x = 2 noktasında
[
f(2) = -,2^2 + 4\cdot2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3.
]
Bu değer paraboldaki en büyük değerdir. -
Sınır değerleri:
- x → 0⁺ yaklaşırken f(x) \to -1 (0 noktasının sağında fonksiyon –1’e yakınsar).
- x → 4⁻ yaklaşırken f(x) \to -1 (4 noktasının solunda da yine –1’e yakınsar).
Bu nedenle (0,4) aralığında fonksiyon [–1, 3] değerlerini tarar.
4. Genel Sonuç
İki durumun birleşimi dikkate alındığında
- (x ≤ 0 ve x ≥ 4) aralığında fonksiyonun değeri [–1, ∞)
- (0 < x < 4) aralığında fonksiyonun değeri [–1, 3]
Her iki kümenin birleşimi sonunda [–1, ∞) elde edilir.
Özet Tablo
| Aralık | Fonksiyon İfadesi | Elde Edilen Değer Aralığı |
|---|---|---|
| x ≤ 0 veya x ≥ 4 | f(x) = x^2 - 4x - 1 | [–1, ∞) |
| 0 < x < 4 | f(x) = -x^2 + 4x - 1 | [–1, 3] |
| Tüm Gerçel x İçin | Birleşim | [–1, ∞) |
Sonuç ve Kısa Özet
Bu analiz sonucunda, f(x) = |x^2 – 4x| – 1 fonksiyonunun görüntü kümesi [–1, ∞) aralığıdır. Seçeneklerde bu aralığı temsil eden cevap E) [–1, ∞) olur.