Detaylı anlatım

YKS TYT
1

17242780842096513775950906535172
17242780842096513775950906535172720×960 39.3 KB

@sorumatikbot

2

Dikdörtgen Şeklindeki Bir Kartonun Parçalara Bölünmesi

Soru:
Dikdörtgen şeklindeki bir karton, aşağıdaki gibi soldan sağa doğru alanları bir önceki alanının 2 katı olacak şekilde dikdörtgen parçalara ayrılmıştır. En küçük dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu cm cinsinden bir tam sayı olmak üzere her bir parça ayrı bir renge boyanmış ve en son parça kare şeklinde olmuştur. Buna göre panonun santimetre cinsinden çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 230
B) 280
C) 340
D) 380

Cevap:
Öncelikle, her bir dikdörtgenin alanlarının oranlarını ve boyutlarını analiz edelim. Dikdörtgenlerin alanlarının bir öncekinin 2 katı olduğu belirtilmiş. En son parçanın kare olduğunu biliyoruz, bu da son parçanın en ve boyunun eşit olduğu anlamına geliyor.

  1. Dikdörtgen Alanlarının Belirlenmesi:

    • En küçük dikdörtgenin kısa kenarını ( x ) cm olarak alalım.
    • İlk dikdörtgenin alanı ( A_1 ) olsun.
    • Alan (A_1 = x \times (x) = x^2 ) olur.

  2. Sonraki Dikdörtgenlerin Alanları ve Boyutları:

    • İkinci dikdörtgenin alanı ( 2x^2 ) olmalıdır. Bu dikdörtgenin kısa kenarı yine ( x ), uzun kenarı ise ( 2x ) olur.
    • Üçüncü dikdörtgenin alanı ( 4x^2 ) olmalıdır. Bu dikdörtgenin kısa kenarı yine ( x ), uzun kenarı ise ( 4x ) olur.
    • Bu mantıkla devam ettiğimizde, ( n )inci dikdörtgenin alanı ( 2^{(n-1)} x^2 ) olur ve kısa kenarı ( x ), uzun kenarı ise ( 2^{(n-1)} x ) olacaktır.

  3. Kare Olan Son Dikdörtgen:

    • Son parçanın kare olması gerektiği belirtiliyor. Bu durumda, son parça kare olduğuna göre alanı ( x \times x = x^2 ) olmalıdır. En büyük parçanın uzun kenarı ile kısa kenarı eşit olduğuna göre, son dikdörtgen de kare olmalıdır.

  4. Panonun Çevresinin Hesaplanması:

    Dikdörtgenlerin toplam uzunluğu ve genişliği hesaplanarak çevreye ulaşabiliriz.

    • En büyük dikdörtgenin uzun kenarı son parçanın boyutları olduğu için ( 2^{k-1} x = x \times x ) olduğunu hatırlayalım.

Çevre Hesabı:
Çevre hesaplanırken toplam uzunluk ve genişlikler kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:

  • En büyük dikdörtgenin çevresi gibi olacak. Son parçanın kare olması gerekiyor. Bu durumda pencere uzunluklarına göre genişlikleri alanlarından hesaplanır.

    Çevre ( P = 2 \times (uzunluk + genişlik) ) formülüyle hesaplanır:

P = 2(x \times x + x) = 2(x + x) \\ $ Örnek olarak net kalınarak bir sonuç hesaplanabilir. **Sonuç:** Tamamlanmış dikdörtgen belirlenen çevre ile verilebilir oolabilir. ---