Şekildeki Üçgende |AB|=6 cm, |AC|=7 cm ise |BC| = x Kaç Farklı Tam Sayı Değeri Alabilir?
Cevap:
Üçgenin üç kenarından ikisi 6 cm ve 7 cm olarak verildiğinde, üçüncü kenarın (burada |BC|=x) alabileceği tam sayı değerlerini bulmak için üçgen eşitsizliği ilkelerini kullanırız. Üçgen eşitsizliği, her bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğunun toplamından küçük, fakat farklarının mutlak değerinden büyük olması gerektiğini söyler:
- 6 + 7 > x ⇒ 13 > x ⇒ x < 13
- 6 + x > 7 ⇒ x > 1
- 7 + x > 6 ⇒ x > -1 (zaten x > 0 olduğu için bu ek bir kısıt getirmiyor)
Bu koşulları birleştirirsek:
1 < x < 13
Dolayısıyla x’in tam sayı değeri alabileceği aralık 2, 3, 4, …, 12 şeklindedir. Bu da 2’den 12’ye kadar (dahil) 11 farklı tam sayı değeri olduğunu gösterir.
Adım Adım Açıklama
-
Verilen Kenarlar:
- AB = 6 cm
- AC = 7 cm
- BC = x (aranan)
-
Üçgen Eşitsizliği Şartları:
- Herhangi iki kenarın toplamı, üçüncü kenardan büyük olmalıdır.
- Herhangi iki kenarın farkının mutlak değeri, üçüncü kenardan küçük olmalıdır.
-
Uygulama:
- (AB + AC) > BC ⇒ 6 + 7 > x ⇒ x < 13
- (AB + BC) > AC ⇒ 6 + x > 7 ⇒ x > 1
- (AC + BC) > AB ⇒ 7 + x > 6 ⇒ x > -1
-
Tam Sayı Değerler:
- x sadece pozitif olabilir ve yukarıdaki koşulları sağlayacak şekilde 1 < x < 13 olmalıdır.
- Tam sayı olarak x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 veya 12 olabilir. Toplam 11 değer.
Özet Tablo
| Koşul | Eşitsizlik | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. AB + AC > BC | 6 + 7 > x ⇒ 13 > x | x < 13 |
| 2. AB + BC > AC | 6 + x > 7 ⇒ x > 1 | x > 1 |
| 3. AC + BC > AB | 7 + x > 6 ⇒ x > -1 | (x > 0 için geçerli) |
Bu üç eşitsizliği birleştirince:
1 < x < 13 ve x ∈ ℤ ⇒ x = 2, 3, …, 12
Sonuç
|BC| = x kenarı, 2 ile 12 arasında 11 farklı tam sayı değeri alabilir. Dolayısıyla aranan cevap 11’dir.