10. Bir okuldaki iki gezi kafilesinden biri 48 diğeri 60 kişiden oluşmaktadır. Bu kafileler birbirine karıştırılmadan ve boşta kişi kalmayacak şekilde eşit sayıda gruplara ayrılacaktır. Buna göre en az kaç grup oluşturulabilir?
Cevap:
Bu soruda, iki grubun en az kaç eşit sayıda alt gruba ayrılabileceğini bulmamız gerekiyor. Bunun için, 48 ve 60 sayılarının “en büyük ortak bölenini” (EBOB) bulmamız gerekir.
Çözüm Adımları:
-
48 ve 60 Sayılarının Asal Çarpanları:
- 48’in asal çarpanları: 48 = 2^4 \times 3
- 60’ın asal çarpanları: 60 = 2^2 \times 3 \times 5
-
En Büyük Ortak Bölen (EBOB):
- Ortak bölen asal sayılar: 2 ve 3
- En büyük ortak bölen: 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12
Bu durumda, her iki kafilenin de 12 kişi olarak eşit sayıda alt gruba ayrılması mümkün olacaktır. Dolayısıyla, en az 12 grup oluşturulabilir.
11. 8 ve 12 sayıları ile bölündüğünde her iki bölümde de 5 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Cevap:
Bu tür sorularda, formda x \equiv k \pmod{m} olan bir çözüme ihtiyacımız var. Bu durumda, x sayısı her iki modül için aynı kalanı (5) vermelidir.
Çözüm Adımları:
-
Denklemler:
- x \equiv 5 \pmod{8}
- x \equiv 5 \pmod{12}
-
Birleşik Modülü Bulma:
- 8 ve 12’nin en küçük ortak katı (EKOK) 24’tür.
-
Çözüme Uygulama:
- x \equiv 5 \pmod{24}
Sonuç olarak, her iki sayıyla da bölündüğünde 5 kalanını veren en küçük pozitif tam sayı 5 olacaktır.
12. Toplamları 22 olan iki sayının en küçük ortak katı 60’dır. Buna göre bu sayıları bulunuz.
Cevap:
Bu iki sayının toplamı 22 ve en küçük ortak katı 60 olan sayılar olması gerekiyor.
Çözüm Adımları:
-
Denklemler:
- a + b = 22
- EKOK(a, b) = 60
-
Deneme Yanılma Yolu ile Kontrol:
- 10 ve 12 sayıları toplamı 22 yapar ve EKOK(10, 12) = 60’tır.
Dolayısıyla, bu özellikleri sağlayan sayılar 10 ve 12’dir.