Sorunun Çözümü:
Elimizde şu ifade var:
\left( x - \frac{1}{4} \right)^a
Bu ifadenin açılımında, sabit terim sorulmaktadır. Sabit terim, matematiksel ifade açıldığında x içermeyen terimdir. Bunun için Binom Açılımını kullanacağız.
Binom Açılımı:
Genel formül:
$$(x + y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$
Burada:
- \binom{n}{k}: Binom katsayısını ifade eder ve \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
- x^{n-k}: x'in üssü,
- y^k: İkinci terim olan y'nin üssüdür.
Verilen Sorunun Açılımı:
İfadeyi binom açılımına göre yazarsak:
\left( x - \frac{1}{4} \right)^a = \sum_{k=0}^a \binom{a}{k} x^{a-k} \left(-\frac{1}{4}\right)^k
Bu açılımda x^{a-k} farklı kuvvetlerle gelir. Sabit terimi bulmak için, x^{a-k}'nin üssünün sıfır olması gerekir çünkü sabit terimler x^0 = 1'i temsil eder.
Sabit Terim Şartı:
x'in üssü sıfır olmalı, yani:
a - k = 0
Bu denklemden:
k = a
Bu durumda k = a olan terim sabit terimi verir.
İfadenin İncelenmesi:
k = a olduğunda ifadenin sabit terim formülü şu şekilde olur:
\binom{a}{k} \cdot x^{a-k} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^k
Gördüğümüz gibi, verilen katsayıya göre açılıma tam sayı a ya $