(n.x-4y.üsü n)3n-11
İfadesinin açılımında 8 tane terim olduğuna göre bu. Katsayılar toplamı kaçtır
(Problem: Binom Expansion and Coefficient Sum)
Berivan6’nın bahsettiği ifadenin açılımında toplam 8 tane terim olduğunu belirtmesi, binom açılımına göre ifadedeki terimlerin sayısını hesaplarken önemli bir rol oynar. Önce (n.x-4y)^n ifadesinin açılımına bir göz atalım ve problemin gereksinimlerini adım adım inceleyelim.
Binom Açılımı
Genel binom açılım formülü şöyledir:
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
Burada:
- a = nx
- b = -4y
- ( n ) de bilinmeyen bir sayı olarak verilmiştir.
Problemde Verilen Bilgilere Göre İlerleme
((n.x - 4y)^{3n - 11}) ifadesinde 8 terim olması gerekiyor. Bir binom açılımında terim sayısı, genellikle açılımdaki toplam terim sayısına eşittir. Yani ((3n - 11) + 1) terim olması beklenir. Bu bilgiyle denklem kurabiliriz:
(3n - 11) + 1 = 8
Bu denklemi çözelim:
3n - 11 + 1 = 8
3n - 10 = 8
3n = 18
n = 6
Bu durumda (n = 6) olduğuna göre ifademiz aslında (6x - 4y)^{3 \cdot 6 - 11} = (6x - 4y)^{18 - 11} = (6x - 4y)^7 şeklinde yazılabilir.
Katsayıların Toplamını Bulma
Binom açılımındaki terimlerin katsayılar toplamını hesaplamak için (x) ve (y)'yi 1 kabul edebiliriz. Bu durumda ifadenin katsayılar toplamı:
(6 \cdot 1 - 4 \cdot 1)^7 = (6 - 4)^7 = 2^7
2^7 = 128
Sonuç
Bu ifadenin katsayılar toplamı, (6x - 4y)^7 olarak açıldığında, 128'dir.
Cevap:
Dolanarak problemde istenen, açılımın katsayılar toplamıdır ve bu toplam 128 olarak bulunur.