Verilen Problemin Çözümü
Verilen Bilgiler:
- Oğuz, A kumbarasında başlangıçtaki ( 3^8 ) TL’lik parayı 9 katına ulaştığında açıyor.
- Efe, B kumbarasında başlangıçtaki ( 9^5 ) TL’lik parayı 9 katına ulaştığında açıyor.
Oğuz’un Harcadığı Para:
-
A kumbarasında başlangıçtaki para: ( 3^8 )
-
A kumbarasında paranın 9 katı olduğunda açıyor:
$$ 9 \times 3^8 $$ -
Oğuz, bu toplam paranın (\frac{1}{81})'ini harcıyor.
Oğuz’un harcadığı para:
$$ \frac{1}{81} \times 9 \times 3^8 $$
-
Burada ( 9 = 3^2 ) olduğundan:
$$ \frac{1}{81} \times 3^2 \times 3^8 = \frac{3^{10}}{81} $$ -
( 81 = 3^4) olduğundan:
$$ \frac{3^{10}}{3^4} = 3^{10-4} = 3^6 $$
Efe’nin Harcadığı Para:
-
B kumbarasında başlangıçtaki para: ( 9^5 )
-
B kumbarasında paranın 9 katı olduğunda açıyor:
$$ 9 \times 9^5 $$ -
Efe, bu toplam paranın (\frac{1}{27})'sini harcıyor.
Efe’nin harcadığı para:
$$ \frac{1}{27} \times 9 \times 9^5 $$
-
( 9 = 3^2 ) olduğundan ve ( 27 = 3^3 ) olduğundan:
$$ \frac{1}{3^3} \times 3^2 \times (3^2)^5 = \frac{1}{3^3} \times 3^2 \times 3^{10} $$ -
Bunu sadeleştirirsek:
$$ \frac{1}{3^3} \times 3^{12} = 3^{12-3} = 3^9 $$
Sonuç:
- Oğuz’un harcadığı para ( 3^6 ) TL.
- Efe’nin harcadığı para ( 3^9 ) TL.
Oğuz’un harcadığı paranın Efe’ninki ile oranı:
$$ \frac{3^6}{3^9} = \frac{1}{3^{9-6}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} $$
Cevap: D) (\frac{1}{27})