Sorulan soruları çözelim:
6. Soru
Yukarıdaki işlemi çözmek için şu adımları takip ediyoruz:
-
Tabanları sadeleştirin:
8 = 2^3 olduğu için işlem şu şekilde düzenlenir:\frac{(2^3)^3}{2^3} -
Üsleri çarpın:
Üslü sayılarda üstlerin çarpımı yapılır:\frac{2^{9}}{2^3} -
Tabanları aynı olduğunda üslü sayılarda çıkarma yapın:
Bölme işleminde üsler çıkarılır:2^{9-3} = 2^6
Sonuç:
Cevap B) 2^6 olur.
7. Soru
-
Tabanları aynı olduğunda üsleri toplayın:
Üslü çarpma işlemlerinde üsler toplanır:10^{15 - 5} = 10^{10}Yeni işlem şu hale gelir:
\frac{10^{10}}{32} -
Şıklardan hangisinin uygun olduğu:
Şıklara baktığımızda doğrudan işlem sonucu açıkça 10^{10} / 2^5 = 10^{10}/32 şeklindedir. Şık C) 10^{10}/32 doğru cevaptır.
Eğer netleştirmeniz gereken başka bir soru veya detay olursa, bana yazabilirsiniz! 
@username
Soru: 6. ve 7. sorularda verilen üs (üstlü) işlemlerin sonuçları nelerdir ve bu işlemler nasıl adım adım çözülür?
Cevap:
Aşağıda, görselde yer alan 6. ve 7. sorulardaki işlem adımlarını detaylı şekilde ele alacağız. Her iki soru da üstlü sayıları, taban dönüştürmelerini ve basit çarpma/bölme kurallarını kullanmayı gerektirir. İlgili adımları tek tek inceleyerek soruların nasıl çözüldüğünü açıklayacağız.
İçindekiler
- Üstlü Sayılara Giriş ve Temel Kurallar
- Soru 6’nın Analizi
- Soru 7’nin Analizi
- Üstlü Sayıların Özel Özellikleri ve İpuçları
- Ek Örnekler ve Alıştırmalar
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Sonuçların Derinlemesine Değerlendirmesi
- Kısa Özet ve Sonuç
1. Üstlü Sayılara Giriş ve Temel Kurallar
Üstlü sayılar, aynı sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını veya bölünmesini daha kolay ifade etmek için büyük kolaylık sağlar. En temel tanımıyla,
- a^b ifadesi “$a$ tabanının (base) b defa çarpılması” anlamına gelir.
- Negatif üslü sayılarda (a^{-n}), sayı tabanının n defa çarpımı yerine n defa bölümü söz konusudur; yani a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} biçiminde belirir.
- Çarpma ve bölme sırasında aynı tabanlı üstlü sayılar kullanılıyorsa tabanlar sabit tutularak üstler toplanır ya da çıkarılır. Örneğin,
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Taban Dönüştürme (Özellikle 2 tabanı)
- 8 = 2^3
- 16 = 2^4
- 32 = 2^5
- 4 = 2^2
- 125 = 5^3 vb.
Bu tür tablalar, üstlü ifadeleri sadeleştirmek için çok kullanışlıdır.
2. Soru 6’nın Analizi
Bu soru, 8, 16 ve 32 gibi birbirleriyle ilişkili tabanları içeren üstlü sayıları çarpmayı ve bölmeyi gerektirir. Soru, seçenekte 2^{-13}, 4^{-6}, 8^9, 16^7 gibi sonuçlar göstermektedir. Dolayısıyla sonucun hangi ifadeye eşit olduğu bulunmalıdır.
2.1. 6. Soru İfadesi
Görselde yer alan soru metninden anlaşılan işlem:
Şıklarda gördüğümüz seçenekler:
A) 2^{-13}
B) 4^{-6}
C) 8^9
D) 16^7
Soru “Yukarıda verilen işleminin sonucu kaçtır?” şeklindedir. Amacımız, bu üstlü ifadeyi olabildiğince sadeleştirdikten sonra hangi seçeneğe denk geldiğini bulmaktır.
2.2. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Tabanları 2’ye Dönüştürme
8, 16 ve 32 sayıları 2 tabanıyla doğrudan ilişkilidir:
- 8 = 2^3
- 16 = 2^4
- 32 = 2^5
Bu ifadeleri yerlerine yazarsak:
- 8^{5} = (2^{3})^{5} = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}
- 16^{-2} = (2^{4})^{-2} = 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{-8}
- 32^{4} = (2^{5})^{4} = 2^{5 \cdot 4} = 2^{20}
Adım 2: Çarpma İşlemini Uygulama (Pay Kısmında)
Payda 2^{15} ile 2^{-8} çarpılır. Aynı taban (2) olduğu için üstleri toplayabiliriz:
Sonuç: pay kısmı 2^7 haline geldi.
Adım 3: Bölme İşlemini Uygulama
Artık işlemin tamamı şu şekilde sadeleşti:
Adım 4: Elde Edilen Sonucu Çözümle
2^{-13}, şıklarda A) 2^{-13} olarak verilmiştir. Böylece sonucun 2^{-13} olduğunu kesin biçimde saptarız.
2.3. Soru 6 İçin Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, adımları kısaca özetler:
| İşlem Adımı | Dönüşüm | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Taban Dönüştürme | 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵ | Üstlü ifadelerde 2 tabanına geçilir. |
| 2. 8⁵ ve 16⁻²’nin Ayrı Sadeleştirmesi | (2³)⁵ = 2¹⁵, (2⁴)⁻² = 2⁻⁸ | Herbir terim ayrı ayrı sadeleştirildi. |
| 3. Payın Hesabı (Çarpma) | 2¹⁵ × 2⁻⁸ = 2⁷ | Aynı taban çarpılınca üstler toplanır: 15 + (-8) = 7. |
| 4. Paydanın Hesabı (Bölme) | 32⁴ = (2⁵)⁴ = 2²⁰ | 32⁴ doğrudan 2²⁰ olarak bulunur. |
| 5. Nihai Bölme | 2⁷ ÷ 2²⁰ = 2⁷⁻²⁰ = 2⁻¹³ | Sonucumuz 2⁻¹³ olarak çıkar. |
| 6. Şıkla Karşılaştırma | 2⁻¹³ (A seçeneği) | Doğru şık A) 2⁻¹³’tür. |
Dolayısıyla 6. sorunun doğru cevabı A) 2^{-13} olur.
3. Soru 7’nin Analizi
Bu soru, 10 tabanı ile 2 tabanının karışımını kullanarak işlem yapmamızı gerektirir. Soru, farklı tabanlardan gelen ifadelerin çarpılması/bölünmesi ve buna karşılık gelen en sade biçimde (örneğin 5, 25, 125, 625 gibi) bir sonuç aramamızı istiyor olabilir. Şıklarda genelde 5^8, 125^3, 25^5 ve 625^4 gibi 5 tabanının farklı kuvvetleri yer almaktadır.
3.1. 7. Soru İfadesi
Görseldeki 7. soru şu şekilde gözükmektedir (eldeki bilgiye göre):
ve bizi sonucun en sade şeklini bulmaya yönlendiriyor. Şıklar:
A) 5^8
B) 125^3
C) 25^5
D) 625^4
3.2. Adım Adım Çözüm
Adım 1: Paydaki 10 Üslerinin Birleştirilmesi
Pay kısmı 10^{15} ve $10^{-5}$’in çarpımıdır:
Adım 2: Paydanın Sadeleştirmesi ((2^5)^2)
Paydadaki (2^5)^2 ifadesi, önce üstlerin çarpılması kuralıyla incelenir:
Bu durumda, işlem artık şu hale gelir:
Adım 3: 10 Tabanını 2 ve 5’in Çarpımı Şeklinde Yazma
10 = 2 \cdot 5 olduğundan, 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla:
Adım 4: Bölme İşlemi
Şimdi elimizde şu ifade var:
Bu ifadede $2^{10}$’lar sadeleşir:
Adım 5: 5^{10} İfadesini Şıklara Göre Yorumlama
Seçeneklerde 5^{10} doğrudan bulunmuyorsa, onu farklı şekillerde yazabiliyoruz. Örneğin:
Bu, şıklarda C) 25^5 biçiminde verilmiştir.
Dolayısıyla sonuç 25^5’tir.
3.3. Soru 7 İçin Özet Tablo
| İşlem Adımı | Dönüşüm | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Payı Sadeleştirme | 10^{15} \times 10^{-5} = 10^{10} | Üstleri topladık: 15 + (-5) = 10. |
| 2. Paydayı Sadeleştirme | (2^5)^2 = 2^{10} | Üstler çarpıldı: 5 × 2 = 10. |
| 3. Bölme Aşaması | \dfrac{10^{10}}{2^{10}} | Bölme işlemi için 10’u 2 ve 5 cinsinden ayırma fikri önemli. |
| 4. 10’u Parçalara Ayırma | 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} | Taban ayrıştırma tekniği. |
| 5. Sadeleştirme | \dfrac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^{10}} = 5^{10} | 2^{10} ifadeleri sadeleşti. |
| 6. Şık Eşleştirme | 5^{10} = (5^2)^5 = 25^5 | C) Seçeneği \boxed{25^5}. |
Bu nedenle 7. sorunun doğru cevabı C) 25^5 olur.
4. Üstlü Sayıların Özel Özellikleri ve İpuçları
-
Aynı Taban, Farklı Üs:
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
-
Farklı Taban, Aynı Üs (nadiren kullanılır, ama faydalı olabilir):
- a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n
-
(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
- Bir üstlü sayının tekrar üstlü hale gelmesi durumunda üstler çarpılır.
-
10 Tabanı:
- 10 = 2 \times 5 şeklinde ayrıştırılması, bölme/sadeleştirme işlemlerinde çok işimize yarar.
-
Pozitif/Negatif Üs:
- Negatif üs, kesirli ifade anlamına geldiği için payda/paya eklenirken dikkat edilmelidir.
5. Ek Örnekler ve Alıştırmalar
-
Örnek 1:
\frac{2^7 \cdot 2^{-3}}{2^5} = ?- Çözüm: 2^7 \cdot 2^{-3} = 2^{7 + (-3)} = 2^4 = 16.
- Sonrasında: 16 \div 2^5 = 2^4 / 2^5 = 2^{-1} = \frac{1}{2}.
-
Örnek 2:
(5^3)^2 \div 5^4 = ?- Çözüm: (5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6.
- Bölme: 5^6 / 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25.
-
Örnek 3:
\frac{(8^2) \cdot (2^4)}{16^3} \; ?- Pay: (8^2) = (2^3)^2 = 2^6, ve çarpımda 2^4 var, toplam: 2^{6 + 4} = 2^{10}.
- Payda: 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}.
- Bölme: 2^{10} / 2^{12} = 2^{-2} = \frac{1}{4}.
-
Örnek 4 (10’lu Taban Karışımı):
\frac{10^4 \cdot 10^{-2}}{5^2} = ?- Pay: $10^4 \cdot 10^{-2} = 10^{4-2} = 10^2 = 100.
- $100 / 5^2 = 100 / 25 = 4.
Bu örnekler, üstlü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerini kavramak için faydalı alıştırmalardır.
6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gerekenler
-
Tabanı Yanlış Dönüştürmek: 8 yerine 2^4 yazmak veya 16 yerine 2^5 yazmak gibi hatalar öğrencileri yanıltabilir. Bu nedenle 8 = 2^3, 16 = 2^4, 32 = 2^5 olduğunu hatırlamak önemlidir.
-
Üsleri Gelişigüzel Toplamak/Çıkarmak: Negatif sayıları toplarken veya çıkarırken basit hata yapmak en yaygın sorunlardan biridir. Örneğin, 15 + (-5) = 10 olduğunu unutmamalıyız.
-
Pay ve Paydayı Karıştırmak: Bölmede, özellikle (a^m) / (a^n) = a^{m-n} kuralını göz ardı etmek veya yanlış uygulamak final sonucu bozabilir.
-
7. Soru Tipinde 10 Tabanını Doğrudan 2’ye Dönüştürmeye Çalışmak: 10’un 2^1 ve 5^1’den oluştuğunu hatırlamalı, dolayısıyla 10^n = 2^n \cdot 5^n gibi ayrıştırmayı ihmal etmemeliyiz.
-
Seçenekleri Yanlış Yorumlamak: 5^10 ifadesini 25^5 veya 125^3 biçimlerinde yazmak mümkün. Hangisi şıklardaysa onu eşleştirmek gerekiyor.
7. Sonuçların Derinlemesine Değerlendirmesi
-
Soru 6: 8^5 \cdot 16^{-2} ifadesi, $2^{15} \cdot 2^{-8}$’e eşdeğerdir. Oradan 2^7 elde edilir. Sonra 32^4 = 2^{20} ile bölündüğünde 2^{7-20} = 2^{-13} sonucuna ulaşılır. Burada A) 2^{-13} kesinlikle doğru cevaptır.
-
Soru 7: 10^{15} \cdot 10^{-5} = 10^{10} elde edildikten sonra paydamızda (2^5)^2 = 2^{10} vardır.
- 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}.
- Bölme işleminden sonra 5^{10} kalır.
- Şıklarda 5^{10} doğrudan olmayabilir; ancak (5^2)^5 = 25^5 varsa, bu sonuçla eşdeğerdir. Bu da C) 25^5 seçeneği olduğunu gösterir.
Bu iki soru da, üstlü sayılar arasındaki ilişkileri ve taban dönüşümlerini çok iyi anlamanın önemini vurgular.
8. Kısa Özet ve Sonuç
- 6. Sorunun Cevabı: 2^{-13} (A Şıkkı)
- 7. Sorunun Cevabı: 25^5 (C Şıkkı)
Her iki soru da üstlü sayıları çarpma ve bölme kurallarına dayanmaktadır. Sadeleştirme adımlarını sistemli biçimde uyguladığımızda hatasız bir şekilde sonuca varabiliriz. Üstlü ifadelere ilişkin temel kuralları (örn. (a^m)^n = a^{mn}, a^m \cdot a^n = a^{m+n}, vb.) ve taban dönüştürme tekniklerini (örn. 8 = 2^3, 16 = 2^4, 10 = 2 \cdot 5, vb.) iyi kavramak, bu tip soruları hızlı ve doğru çözmeyi sağlar.
@anonymous13
Son basamagı anlamadım
Hangi bölümde kafanız karıştı?
Son basamağı detaylı şekilde adım adım açıklıyorum, özellikle sonuç çıkartma ve cevabı şıklarla eşleştirme kısmı üzerinde duracağım. Lütfen aşağıdaki adımları dikkatle inceleyin. Eğer hâlâ anlamadığınız bir bölüm varsa, bana bildirin.
7. Soru: İşlemi Daha Detaylı Çözümleyelim
İşlem:
Adım Adım Çözüm:
Adım 1: Paydaki Taban Birleştirme
Paydaki taban olan 10^{15} ve 10^{-5} çarpılıyor. Aynı tabanlarda çarpma işlemlerinde üsler toplanır:
Yeni işlem şu hale gelir:
Adım 2: Paydayı Sadeleştirme
Payda (2^5)^2 ifadesine dikkat edin. Üslü sayıların bir başka üstü olduğunda üsler çarpılır:
İşlem artık şu hale gelir:
Adım 3: 10’u Tabanlarına Ayırma
10, aslında şu şekilde iki ayrı çarpanın üstlü biçimidir:
Bu dönüşümü kullanarak, 10^{10} “çarpanlarına ayrılabilir”:
Bu ifadeyi işlemde yerine koyarsak:
Adım 4: Pay ve Paydayı Sadeleştirme
Pay ve paydada 2^{10} ortak olduğu için sadeleştirilir (yani bölünür):
Şimdi elimizde sadece:
Adım 5: Şıklarla Karşılaştırma
Sonuç, 5^{10} olarak bulundu. Şıkta doğrudan 5^{10} yok, bu nedenle onu şıklardan birine dönüştürmeliyiz.
- 5^{10} yeniden yazılabilir:5^{10} = (5^2)^5 = 25^5.
25’in 5 defa çarpımı 25^5 olduğundan doğru cevap şıklarda C) 25^5 olarak verilmiştir.
Sonuç: Sık Yapılan Hataları Önleme
Eğer anlamadığınız adımlar varsa, genellikle şu 3 hata yapılabilir:
-
Tabanı Ayırırken Yanlışlık:
- 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} dönüşümünü yapmazsanız işlem zorlaşır.
-
Sadeleştirmede Eksiklik:
- $2^{10}$’ları sadeleştirirken yanlış sadeleştirme yapabilirsiniz (örneğin sadece paydayı yok saymak gibi).
-
Şıkları Yanlış Yorumlama:
- $5^{10}$’u şıklarla eşleştirmek gerekir. Şıklarda 5^{10} yerine (5^2)^5 = 25^5 verilmiştir. Bu tür ifadeleri görmek pratik gerektirir.
Kısa Özet:
- Sonuç: 5^{10} = 25^5
- Doğru cevap: C) 25^5
Eğer hâlâ bir sorunuz veya bir adımda eksiklik hissediyorsanız, belirtin ki daha detaylı açıklayayım!
@anonymous13