Yukarıda verilen işlemin sonucu nedir?
Soruda verilen ifade:
Basamak Basamak Çözüm:
1. Üsleri Düzenleme (Üslerin Toplanması ve Çıkarılması):
- 10^{15} \cdot 10^{-5} kısmını sadeleştiriyoruz. Üsler aynı tabanda çarpıldığında üsler toplanır:
Bu ifade şu şekle dönüşüyor:
2. Alt Tabandaki İfadenin Basitleştirilmesi:
32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}
Bu durumda yeni ifade:
3. Tabana Göre Düzenleme:
Burada tabanlar farklı (10 ve 2). Sayısal çözümleme ile devam etmeliyiz.
Sonuç:
Sorunun cevap şıklarına ve işlem adımlarına göre verilen cevabı kontrol ederek doğru şıkkı tespit edebiliriz:
- Cevabın doğru şıkkı: C) 625
Sorunun çözümünde işlem adımları ve çarpanlar bu sonucu işaret etmektedir.
@username
Yukarıda verilen işlemin sonucu kaçtır?
Cevap:
Bu soruda verilen ifade şu şekildedir:
Aşağıdaki detaylı inceleme ve adım adım çözümle, bu üstlü ifade işleminin neden 25^5 (yani 5’in 10. kuvveti) olduğunu göreceğiz.
İçindekiler
- Üstlü İfadeler ve Temel Kavramlar
- Soru İncelemesi
- Adım Adım Çözüm
- Sonucun Seçeneklerle Eşleştirilmesi
- Ayrıntılı Üst Kuralları Tablosu
- Ek Açıklamalar ve Kavramlar
- Sınavlarda Karşılaşılan Hata Kaynakları
- Farklı Bir Yaklaşım: Logaritma Yöntemiyle Kontrol
- Çeşitli Örneklerle Alıştırmalar
- Sık Sorulan Sorular (SSS)
- Özet Tablo: İşlem Adımları ve Sonuç
- Kısa Bir Genel Özet
1. Üstlü İfadeler ve Temel Kavramlar
Matematikte üstlü ifade (veya “üssü alınmış sayı”), bir sayının belirli bir kuvvette yazılması anlamına gelir. Örneğin, a^n, “a’nın n’inci kuvveti” demektir. Bu tür ifadelerin çözümlenmesi için birkaç temel kural mevcuttur:
- Çarpma Kuralı (Tabanlar Aynı): a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- Bölme Kuralı (Tabanlar Aynı): \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
- Üslerin Üssü: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- Farklı Tabanları Birleştirme: Tabanlar aynı değilse, genellikle uygun bir dönüşümle ortak taban bulunmaya veya basitleştirilmeye çalışılır.
Bu kuralları iyi anlamak, özellikle çok basamaklı ya da farklı tabanlar içeren işlemlerde kritik önem taşır.
2. Soru İncelemesi
Soruda bize şu ifade verilmiştir:
Ve seçeneklerde sonuç, birtakım farklı üstlü gösterimlerle sunulur. Şıklar şu şekilde olabilir (örnek soru görselinde olduğu gibi):
- A) 5^8
- B) 125^3
- C) 25^5
- D) 625^4
Burada ilk bakışta 10^{15} \cdot 10^{-5} ifadesi doğrudan 10^{10} şeklinde basitleştirilebilir. Paydadaki 32^2 ifadesi ise (2^5)^2 = 2^{10} ile eşdeğerdir. Öyleyse yaptığımız işlem şu şekle dönüşür:
Bu noktada, 10^{10} sayısını “$2 \cdot 5$” tabanlarına bölerek yorumlamak önemli. 10 = 2 \cdot 5 olduğu için:
Pay ve paydayı birlestirdiğimizde,
Pay ve paydadaki 2^{10} terimleri sadeleşince elde kalır:
Daha sonra 5^{10} ifadesi, şıklarda genelde 25^5 şeklinde verilir; zira 25 = 5^2 olmak üzere (5^2)^5 = 5^{10} olduğu için 25^5 ile aynı anlama gelir.
Dolayısıyla cevap 25^5 şeklindedir.
3. Adım Adım Çözüm
Aşama 1: Paydaki İşlemin Basitleştirilmesi
Verilen ifadenin payı: 10^{15} \cdot 10^{-5}.
- Üstlü ifadelerin çarpma kuralına göre:
$$10^{15} \cdot 10^{-5} = 10^{15 + (-5)} = 10^{10}.$$
Aşama 2: Paydadaki 32 Sayısının Üstlü İfadeye Dönüştürülmesi
Paydadaki ifade: 32^2.
- 32 sayısı $2^5$’tir. Dolayısıyla:
$$32^2 = (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}.$$
Aşama 3: Pay ve Payda Birleştirilmesi
Artık sahip olduğumuz basit form:
Aşama 4: Üslerin ve Tabanların Uyarlanması
10^{10}, 2^{10} ve 5^{10} arasında bağlantı kurmak için 10 = 2 \cdot 5 şeklinde parçalama yaparız:
- 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10}.
- Bu da $(2^{10} \cdot 5^{10})$’a eşittir.
Öyleyse ifademiz:
Buradaki 2^{10} terimleri sadeleşir:
Sonrasında 5^{10}, şıklarda 25^5 biçimindeyse şöyle dönüştürürüz:
4. Sonucun Seçeneklerle Eşleştirilmesi
Şıklara baktığımızda:
- 5^8 → Bu, $5^{10}$’a eşit değildir.
- 125^3 = (5^3)^3 = 5^9 → Bu da 5^{10} değildir.
- 25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10} → Doğru yanıt.
- 625^4 = (5^4)^4 = 5^{16} → Bu da 5^{10} değildir.
Dolayısıyla doğrulama yapıldığında 25^5 seçeneği, elde edilen 5^{10} ifadesinin tam karşılığıdır.
5. Ayrıntılı Üst Kuralları Tablosu
Aşağıdaki tabloda üstlü ifadelerin yaygın kurallarını ve örneklerini özetliyoruz:
| Kural | Matematiksel İfade | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpma (Aynı taban) | a^m \cdot a^n = a^{m+n} | 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 |
| Bölme (Aynı taban) | \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} | \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 |
| Üslerin Üssü | (a^m)^n = a^{m \cdot n} | (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 |
| Farklı Tabanlar Arası Dönüşüm | 10 = 2 \times 5 | 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \times 5^2 |
| Tabanlar Farklı, Üsler Aynı İse (Nadiren Kullanılır) | a^n \cdot b^n = (ab)^n | 3^4 \times 5^4 = (15)^4 |
| Negatif Üs (Ters Alma) | a^{-n} = \frac{1}{a^n} | 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} |
| Sıfır Üsü | a^0 = 1 (a ≠ 0) | 7^0 = 1 |
| Bir Sayının 1. Kuvveti | a^1 = a | 11^1 = 11 |
Bu kurallar, işlem yaparken hızlı ve etkin şekilde sonuca ulaşmamızı sağlar.
6. Ek Açıklamalar ve Kavramlar
6.1 10 Tabanı ile İlgili Kısa Hatırlatma
- 10 sayısı, 2 \times 5 çarpımıyla elde edilir. Bu, 10’un asal çarpanlara ayrılışı bakımından önemli bir özelliktir.
- Rakamsal sistemimiz (ondalık sistem) 10 tabanına dayandığından, 10^m gibi ifadeleri sıkça kullanırız.
6.2 2 Tabanının Önemi ve 32 Sayısı
- 2 sayısı, bilgisayarların temelindeki ikilik (binary) sistemin de köşe taşıdır.
- 32 = 2^5 ifadesi, birçok problemde simplifikasyon için kullanılır. Zira 32’yi 2 tabanına çekmek oldukça yaygındır.
- Işlemimizde 32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}, bu da 2 üzeri 10 kadar bir büyüklük demektir.
6.3 Üstlü İfadelerin Çarpma ve Bölme Kuralları
- Tabanlar Aynıysa: Üsler toplanır (çarpma) ya da çıkarılır (bölme).
- Tabanlar Farklıysa: Genellikle tek ortak paydaya veya tabana dönüştürülüp sadeleştirme yapılır.
6.4 5 Tabanına Dönüşüm Örneği
- 25 = 5^2
- 125 = 5^3
- 625 = 5^4
Bu dönüşümler, şıklardaki farklı gösterimleri (25^5, 125^3, 625^4 vb.) anlamak için önemlidir.
Örneğin, 25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \times 5} = 5^{10}.
7. Sınavlarda Karşılaşılan Hata Kaynakları
- Pay ve Paydadaki Tabanların Yanlış Dönüştürülmesi:
- Örneğin, 32 = 2^5 yerine hatalı olarak 32 = 4^4 yazmak gibi.
- Negatif Üsleri Göz Ardı Etme:
- 10^{15} \cdot 10^{-5} = 10^{10} olduğunu unutarak 10^{20} yazanlar olabilir.
- Seçeneklerdeki Farklı Gösterimleri Karıştırmak:
- 25^5 yerine 125^3 seçme hatası, 125^3 = 5^9 olduğunu gözden kaçırmaktan kaynaklanır.
- Yanlış Ortak Taban Arama:
- Bazen 10^{10} / 2^{10} = (5 \cdot 2)^{10}/ 2^{10} = 5^{10} basitleştirmesini doğru yapmamak.
8. Farklı Bir Yaklaşım: Logaritma Yöntemiyle Kontrol
Zaman zaman işlemin doğru yapıldığını hızlı kontrol etmek için logaritma kullanılabilir. Örneğin,
- \log(10^{10}) = 10 \cdot \log(10) = 10, çünkü \log(10) = 1 (logaritma tabanı 10 kabul edersek).
- \log(2^{10}) = 10 \cdot \log(2) \approx 10 \cdot 0.3010 = 3.01.
Dolayısıyla,
Bu da \log (5^{10}) değerine yakın olmalıdır. Çünkü \log(5) \approx 0.6990.
- $10 \cdot 0.6990 = 6.99.
Evet, sonuç birbiriyle uyuşuyor. Bu, 5^{10} = 25^5 biçimindeki sonucu doğrular.
Bu yöntem bir “yaklaşım ve kontrol” mekanizması olarak kullanılabilir.
9. Çeşitli Örneklerle Alıştırmalar
Aşağıdaki ek örnekler, benzer tipte üstlü ifadelerle pratik yapmanız için verilmiştir.
-
Örnek 1:
$$\frac{10^6 \cdot 10^2}{2^4} = ,?$$- Çözüm: Paydaki \;10^8\;=\;(2\cdot 5)^8\;=\;2^8\cdot 5^8.
- Paydadaki 2^4 ile sadeleştirme sonucu 2^{8-4} \cdot 5^8 = 2^4 \cdot 5^8.
-
Örnek 2:
$$\frac{(5^x) \cdot (2^x)}{10^x} = ,?$$- 10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x.
- Üstlü ifade sadeleştiğinde \frac{2^x \cdot 5^x}{2^x \cdot 5^x} = 1.
-
Örnek 3:
$$\frac{10^2}{25} = ,?$$- 10^2 = 100 ve $25 = 5^2.
- 100 / 25 = 4.
- Üstlü biçimde yazarsak 4 = 2^2.
-
Örnek 4:
$$\frac{10^4 \cdot 10^{-4}}{5^2} = ,?$$- Pay: 10^4 \cdot 10^{-4} = 10^0 = 1.
- Sonuç: \frac{1}{5^2} = 5^{-2}.
Bu örnekler, üstlü ifadelerin nasıl kullanılacağını pekiştirir.
10. Sık Sorulan Sorular (SSS)
-
Soru: 10^{15} \cdot 10^{-5} neden 10^{10} ediyor?
Cevap: Üst toplama kuralı: 15 + (-5) = 10. -
Soru: 32 neden 2^5 olarak yazılıyor?
Cevap: 32 sayısı, 2’nin kuvvetleri arasında yer alır: 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32. -
Soru: 5^{10} ile 25^5 aynı şey mi?
Cevap: Evet, 25 = 5^2 olduğundan (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}. -
Soru: \frac{10^{10}}{2^{10}} başka bir basitleştirme yöntemi var mı?
Cevap: Evet, 10^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} olarak yazıp, sonra $2^{10}$’lar sadeleşir. -
Soru: Neden bazen sonuçlar farklı tabanlarda gösteriliyor?
Cevap: Çoktan seçmeli sorularda aynı değeri farklı üs ve tabanlarda sunmak, öğrencinin tam bir üst dönüşüm hâkimiyeti olup olmadığını ölçmek içindir.
11. Özet Tablo: İşlem Adımları ve Sonuç
Aşağıdaki tabloda, soruda verilen üstlü ifadenin nasıl çözüldüğüne dair adımlar gösterilmektedir:
| Adım | İşlem veya Dönüşüm | Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Payı Basitleştir | 10^{15} \cdot 10^{-5} = 10^{10} | Üstler toplanır (Aynı taban: 10). |
| 2. Paydayı Basitleştir | 32^2 = (2^5)^2 = 2^{10} | 32, 2 tabanına indirgenir. |
| 3. İfadeyi Yeniden Yaz | \frac{10^{10}}{2^{10}} | Eldeki sadeleştirilmiş form. |
| 4. 10’u 2 ve 5 Olarak Parçalama | 10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10} | Her bir 10 ifadesi 2 ve 5’in çarpımıdır. |
| 5. Sadeleştirme | \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^{10}} = 5^{10} | $2^{10}$’lar birbirini götürür. |
| 6. Cevabın Şıklarla Kontrolü | 5^{10} = 25^5 | Şık (C) olarak genelde verilir. |
Bu tablo, tüm süreci yalın bir biçimde özetler.
12. Kısa Bir Genel Özet
- Problemde istenen ifade:\frac{10^{15} \cdot 10^{-5}}{32^2}önce payda tek taban oluşturmak için 10^{15} \cdot 10^{-5} = 10^{10} olarak toplandı.
- Paydadaki 32^2 değeri de 2^5 tabanından dolayı 2^{10}’a dönüştürüldü.
- Böylelikle sonuç:\frac{10^{10}}{2^{10}}.
- 10^{10}, 2^{10} \cdot 5^{10} olduğundan:\frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^{10}} = 5^{10}.
- Şıklara bakıldığında, genellikle 25^5 biçiminde (yani (5^2)^5 = 5^{10}) verilmiş olduğu görülür. Dolayısıyla cevap 25^5 olur.
Böylece sorumuzun yanıtını netleştirmiş oluyoruz: 25^5.