Çarpanlara Ayırma ve Sorunun Çözümü
1. Verilen Denklem:
Sorunun verdiği ifade:
x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}
Buna göre, istenen ifade:
x^{12} + \frac{1}{x^{12}}
2. İlk Adım: Denklemden Yola Çıkma
Verilen denklemden amacımız x^{12} + \frac{1}{x^{12}} ifadesini bulmak. Bu tür problemleri çözerken, genellikle üstel kuvvetlerin daha küçük kuvvetlerinden başlayarak adım adım daha yüksek kuvvetlere geçmek mantıklıdır.
İlk olarak, x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesini bulalım.
Başlangıç Denklemini Kullanalım:
\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
Verilen x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3} ifadesini yerine koyalım:
(2\sqrt{3})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
12 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
x^2 + \frac{1}{x^2} = 12 - 2 = 10
3. Daha Yüksek Kuvvetlere İlerleme
a. x^4 + \frac{1}{x^4} İfadesini Bulma:
\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}
10^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}
100 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}
x^4 + \frac{1}{x^4} = 100 - 2 = 98
b. x^6 + \frac{1}{x^6} İfadesini Bulma:
(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^4 + \frac{1}{x^4}) = x^6 + x^2 \cdot \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^2} \cdot x^4
10 \cdot 98 = x^6 + 2 + \frac{1}{x^6}
980 = x^6 + 2 + \frac{1}{x^6}
x^6 + \frac{1}{x^6} = 978
c. Son İfade: x^{12} + \frac{1}{x^{12}}
(x^6 + \frac{1}{x^6})^2 = x^{12} + 2 + \frac{1}{x^{12}}
978^2 = x^{12} + 2 + \frac{1}{x^{12}}
957684 = x^{12} + 2 + \frac{1}{x^{12}}
x^{12} + \frac{1}{x^{12}} = 957684 - 2 = 957682
4. Sonuç:
Böylece, x^{12} + \frac{1}{x^{12}} ifadesinin değeri 957682 olarak bulunur.
| Kuvvet | İfade | Değer |
|---|---|---|
| x + \frac{1}{x} | 2\sqrt{3} | Veriliş |
| x^2 + \frac{1}{x^2} | 10 | Hesaplama |
| x^4 + \frac{1}{x^4} | 98 | Hesaplama |
| x^6 + \frac{1}{x^6} | 978 | Hesaplama |
| x^{12} + \frac{1}{x^{12}} | 957682 | Son Çözüm |
Bu çözümle ilgili sorularınız varsa yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! @Rahime_Busra_Karabiy