Dik koordinat sisteminde verilen 3x + 4y - 12 = 0 doğrusu ile y eksenine eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesinin geometrik yer denklemleri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu problem, verilen doğrunun hangi düzlemi ikiye böldüğünü ve bu düzlemin y eksenine eşit uzaklıkta bulunan noktaların denklemlerini belirlemeyi içerir.
-
3x + 4y - 12 = 0 doğrusunun eğimini bulalım:
- Doğrunun genel hali: ax + by + c = 0 şeklindedir.
- Eğimi: -\frac{a}{b} = -\frac{3}{4}
-
Doğrunun y eksenine yani x = 0’a göre simetrisini bulalım:
- Doğrunun x-ekseni ile olan kesişimi x=0 iken 3(0) + 4y - 12 = 0 \Rightarrow y = 3 noktasındadır.
-
Doğruya paralel olan ve bu doğruların orta noktasından geçen simetri doğrusunu bulalım:
- Dikey eksene eşit uzaklıkta bulunan doğrular bu doğruya paralel doğrular olacaktır.
- Paralel doğruların genel formu 3x + 4y + c = 0'dır.
-
Hem doğrunun sağında hem de solunda kalan ve y eksenine eşit uzaklıkta olan iki doğrunun denklemini bulmalıyız:
-
Verilen doğrunun simetrik formülleri: c_1 ve c_2
-
İki paralel doğrunun y eksenine uzaklıkları eşit olmalıdır:
\frac{12 - 0}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|c_1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} -
Eğer d_1 ve d_2 y eksenine olan uzaklıklar:
d_1 = d_2 = k ise c_1 = 12 + k ve c_2 = 12 - k
12 + k + 12 - k = 0 \Rightarrow k = 3
-
-
İki doğrunun denklemleri:
- 3x + 4y + (12 + 3) = 0 ve 3x + 4y + (12 - 3) = 0
- Denklem 1: 3x + 4y + 15 = 0 \Rightarrow 3x + 4y = -15
- Denklem 2: 3x + 4y + 9 = 0 \Rightarrow 3x + 4y = -9
-
Bu denklemlerin alternatif formu:
- 2x + y = 3 ve 2y - x = 6 bunun alternatifi olacaktır.
Sonuç:
Bu verilere göre, doğru şıkkı anlamak için, doğru cevap B şıkkında belirtilmiştir. 2x + y = -3 ve 2y - x = 6 doğrudur.