Önerme Analizi
İlk Soru
Önerme 1: “İki irrasyonel sayının çarpımı irrasyoneldir.”
- Bu önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için bir karşı örnek verelim: \sqrt{2} ve \frac{1}{\sqrt{2}}. Her iki sayı da irrasyoneldir, fakat çarpımları 1’dir ki bu rasyoneldir. Dolayısıyla bu önerme yanlıştır.
Önerme 2: “Bazı irrasyonel sayıların karesi irrasyoneldir.”
- Örneğin, \sqrt{2} irrasyoneldir ve karesi 2’dir ki bu rasyoneldir. Bununla birlikte, (\sqrt{2} + 1)^2 gibi diğer bazı irrasyonel sayıların karelerinde irrasyonellikle karşılaşabiliriz. Dolayısıyla önerme doğrudur.
Önerme 3: “Her irrasyonel sayı gerçek sayıdır.”
- İrrasyonel sayılar reel sayılardır çünkü reel sayı kümesinin bir alt kümesidirler. Bu önerme doğrudur.
Doğru Önerme: II ve III.
İkinci Soru
Önerme 1: “\forall a, b, c \in \mathbb{R} ve a < b \implies a\cdot c < b\cdot c dir.”
- Bu önerme c’nin pozitif olduğu durumda doğrudur ancak negatif değerler için geçerli değildir. Genel olarak yanlış yer alıyor.
Önerme 2: “\exists a \in \mathbb{R} için a^2 < a dir.”
- 0 < a < 1 için bu doğrudur. Dolayısıyla önerme doğrudur.
Önerme 3: “\forall a \in \mathbb{R} ve a \neq 0 için \exists b \in \mathbb{R} vardır ki a\cdot b = 1 dir.”
- Her a \neq 0 için b = \frac{1}{a} seçilebilir. Bu önerme doğrudur.
Doğru Önerme: II ve III.
Üçüncü Soru
Önerme 1: “\forall a \in \mathbb{R} için a^2 > 0 dir.”
- Yanlıştır çünkü a=0 durumunda a^2=0 olur.
Önerme 2: “İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olamaz.”
- Yanlıştır çünkü \sqrt{2} ve -\sqrt{2} toplamı rasyoneldir ve bu iki sayı irrasyoneldir.
Önerme 3: “İrrasyonel sayıların tümleyeni rasyonel sayılardır.”
- Yanlıştır, çünkü tümleyenini üzerine kurduğu küme reel sayılardır.
Doğru Önerme: Hiçbiri.
Dördüncü Soru
Önerme: “\exists x, y \in \mathbb{N} için x + y = 3” kaç farklı (x, y) sıralı ikilisi vardır?
- (1, 2), (2, 1), (3, 0) ve (0, 3) ikilileri doğrudur. Ancak 0 doğal sayı kabul edilmediği durumda sadece (1, 2) ve (2, 1) yanıtları dikkate alınacaktır.
Çözüm: 2
Beşinci Soru
Önerme: “\exists x \in \mathbb{Z} için |x + 1| < 7” eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
-
-7 < x + 1 < 7 ise -8 < x < 6 olur. Böylelikle x tam sayılarının kümesi: \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
-
Bu sayıların toplamı sıfırdır. Bu, tüm x değerlerinin toplamıdır.
Çözüm: 3
Bu analizlerle sorular detaylı olarak ele alınmıştır.