Soru Analizi ve Çözümü:
Soruda verilen şekle göre, kare biçimindeki kağıt belirli bir katlamadan geçtiğinde, ortaya çıkan sekizgen biçimindeki kağıdın bir yüzünün alanını veren cebirsel ifade soruluyor. İşlemleri adım adım çözelim.
Verilenler:
- Karenin kenar uzunluğu: ( x\sqrt{3} )
- Köşelerden kesilen küçük üçgenlerin kenar uzunluğu: ( \sqrt{6} )
Açıklama ve Hesaplama:
1. Karenin Alanı
Karenin bir kenarı ( x\sqrt{3} ) olduğundan, karenin alanı formülden hesaplanır:
[
\text{Karenin Alanı} = (x\sqrt{3})^2 = x^2 \cdot 3 = 3x^2
]
2. Kesilen Üçgenlerin Alanı
Her bir köşeden ( \sqrt{6} )'lık kenar uzunluğuna sahip bir üçgen kesilmiş. Bu üçgenler ikizkenardır ve alanı, şu formülden hesaplanabilir:
[
\text{Üçgenin Alanı} = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}
]
Üçgenin tabanı ve yüksekliği birbirine eşittir (( \text{Taban} = \text{Yükseklik} = \sqrt{6} )), dolayısıyla:
[
\text{Üçgenin Alanı} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 , \text{cm}^2
]
Bir köşede bir üçgen kesildiği için toplamda 4 köşe vardır. O halde kesilen toplam üçgenlerin alanı:
[
\text{Toplam Kesilen Alan} = 4 \cdot 3 = 12 , \text{cm}^2
]
3. Kalan Alan (Sekizgen Alanı)
Başlangıçtaki karenin alanından kesilen üçgenlerin toplam alanını çıkararak sekizgenin yüzey alanını bulabiliriz:
[
\text{Sekizgenin Alanı} = \text{Karenin Alanı} - \text{Kesilen Alan}
]
Yukarıdaki değerleri yerine koyarsak:
[
\text{Sekizgenin Alanı} = 3x^2 - 12
]
Sonuç:
Sorunun doğru cevabı, sekizgenin yüzey alanını veren cebirsel ifade:
[
\boxed{B) , x^2 - 12}
]
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Karenin alanı | ( (x\sqrt{3})^2 ) | ( 3x^2 ) |
| Bir üçgenin alanı | ( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} ) | ( 3 , \text{cm}^2 ) |
| Kesilen toplam alan | ( 4 \cdot 3 ) | ( 12 , \text{cm}^2 ) |
| Kalan alan (Sekizgen) | ( 3x^2 - 12 ) | ( x^2 - 12 ) |
Cevap: B şıkkı seçilmiştir. 