İfadesinin Açılımında x^3'lü Teriminin Katsayısı
Verilen ifade:
\left(x^3 - \frac{2}{x^2}\right)^6
Binom Açılımı
Binom açılımında genelleştirilmiş formül:
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
Bu problemde, a = x^3 ve b = -\frac{2}{x^2} ve n = 6'dır.
Açılımda x^3'lü terimi bulmak için hangi terimin bu kuvveti vereceğini inceleyelim.
x^3 Terimini Elde Etmek
Genel terim:
T_k = \binom{6}{k} (x^3)^{6-k} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^k
Bu terimde x^3 elde etmek için:
3(6-k) - 2k = 3
Denklemi çözelim:
18 - 3k - 2k = 3
18 - 5k = 3
5k = 15
k = 3
k = 3 İçin Terimin Hesaplanması
Şimdi k = 3 için terimi hesaplayalım:
T_3 = \binom{6}{3} (x^3)^{6-3} \left(-\frac{2}{x^2}\right)^3
Şimdi katsayının hesaplanmasına odaklanalım:
- \binom{6}{3} = 20
- (x^3)^3 = x^9
- \left(-\frac{2}{x^2}\right)^3 = -\frac{8}{x^6}
Toplam terim hesaplandığında:
T_3 = 20 \cdot x^9 \cdot -\frac{8}{x^6}
Buradan x kuvvetleri sadeleştiğinde:
T_3 = 20 \cdot -8 \cdot x^3 = -160 \cdot x^3
Katsayı -160 olarak bulunur.
Sonuç
Bu ifade açılımında x^3'lü terimin katsayısı -160'tır.