f(x) = x⁶ – 8x³ + 14 fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Cevap:
Adım Adım Çözüm
-
Fonksiyonu Analiz Etme
Verilen fonksiyon:
$$f(x) = x^6 - 8x^3 + 14$$
Burada $x \in \mathbb{R}$’dir. -
Yeni Değişken Tanımlama (t = x³)
Daha kolay incelemek için t = x^3 tanımlayalım. Çünkü x^3, gerçek sayılar kümesinde (-\infty, \infty) değerlerini alabilir. Böylece fonksiyon
$$f(x) = (x^3)^2 - 8x^3 + 14 = t^2 - 8t + 14$$
biçiminde yazılabilir ve $t \in \mathbb{R}$’dir. -
t Tabanında Minumum Değerin Bulunması
Yeni fonksiyonumuz:
$$g(t) = t^2 - 8t + 14$$
Bu fonksiyon, $t$’ye bağlı bir parabol olup \mathbb{R} üzerinde incelenebilir. -
Türevi Alarak Minumum Noktayı Belirleme
- Türev:
$$g’(t) = 2t - 8$$ - Eşitle 0’a:
$$2t - 8 = 0 \implies t = 4$$ - İkinci türev:
$$g’'(t) = 2 ,,(> 0)$$
İkinci türev pozitif olduğundan t = 4 değeri, g(t) fonksiyonu üzerinde bir global minumum noktasıdır.
- Türev:
-
Minumum Değerin Hesaplanması
$$g(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 14 = 16 - 32 + 14 = -16 + 14 = -2$$
Dolayısıyla g(t) fonksiyonun en küçük değeri -2’dir. t = 4, yani x^3 = 4 için fonksiyon bu minimum değeri alır. -
Görüntü (Range) Tespiti
g(t) ya da f(x), minimum değeri -2 olup sonrası için $+\infty$’ye kadar devam etmektedir. Böylece fonksiyonun görüntü kümesi
$$[-2, \infty)$$
olur.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Fonksiyon | f(x)=x^6-8x^3+14 | – |
| 2. Değişken Dönüşümü | t = x^3 | f(x)=t^2-8t+14 |
| 3. Türevi Bulma | g'(t) = 2t - 8 | – |
| 4. Türevi 0’a Eşitle | 2t - 8 = 0 → t=4 | Minimum noktası |
| 5. Minimum Değer Hesabı | g(4) = 16 - 32 + 14 = -2 | Min = -2 |
| 6. Görüntü Kümesi (Range) | [-2, \infty) | [-2, ∞) |
Sonuç olarak fonksiyonun görüntü kümesi [-2, ∞) ‘dir.
Özetle, t = x^3 yardımıyla fonksiyonun parabol türünden ifadesini analiz ettiğimizde, parabolün en küçük değeri -2 olduğu için, f(x) minimum -2 değerini alır ve sonsuza kadar çıkar.