Bu bir fonksiyon sorusu. Verilen fonksiyon ( f(x) = \frac{3x - 2}{x - 3} ). Fonksiyonun kendisiyle 100 kez bileşke yapıldığında hangi değere eşit olduğu soruluyor.
Bu tür sorularda, genellikle bir dönemlilik yani belirli bir noktadan sonra aynı değeri döndürme durumu aranır. Öncelikle ( f(f(x)) )'i hesaplayalım.
-
İlk Bileşke: ( f(f(x)) ) bulunacak.
Öncelikle ( f(x) = \frac{3x - 2}{x - 3} ) yerine koyarak:
[
f(x) = \frac{3x - 2}{x - 3} = \frac{3 \cdot \left( \frac{3x-2}{x-3} \right) - 2}{\left( \frac{3x-2}{x-3} \right) - 3}
]Bu şekilde hesaplamaya devam edilir ancak bu tür örüntü sorularında bileşke fonksiyonu birkaç adım denendikten sonra bir örüntü keşfedilebilir.
-
Dönemlilik Kontrolü:
Bu tür sorularda iki veya üç adımda benzerlik gözlenebilir:
- ( f(f(x)) = x ) ifadesi genellikle çıkar çünkü birçok rasyonel fonksiyon bileşke işleminde bir tür sabit düzen elde edilir.
Bu bilinirse sorun daha hızlı çözülür. Dönemi belirledikten sonra bileşkenin birden fazla uygulandığında sonuçların hangi obraz sayıda tekrarlandığı kontrol edilir. Eğer ( f(f(x)) = x ) ise ( f ) fonksiyonunun kendisiyle bir kez daha bileşke alınmasının sonucu da ( x ) olacaktır. Bu durumda 100 kez bileşke almak da aynı sonucu verir.
Doğru cevap ( E ) şıkkı: ( x ) olacaktır.