Aralarında asal olan iki sayıdan birinin asal çarpanları 2, 3 ve 5. Diğer sayı asal olmayan iki basamaklı bir sayı olduğuna göre bu sayı en az kaçtır?
Cevap:
Bir sayının asal çarpanlarının 2, 3 ve 5 olması, bu sayının 2, 3 ve 5’in çarpanlarından oluştuğu anlamına gelir. Yani, bu sayı şu formda olabilir:
Burada, (a), (b) ve (c) sıfırdan büyük veya eşit tamsayılar olacaktır.
Bu sayının en küçük değeri almak için (a), (b) ve (c) değerlerini en küçük şekilde belirlemeliyiz. Bu durumda, (a=1), (b=1), (c=1)'i seçelim:
Bu durumda sayı 30 olur.
Şimdi, 30 ile aralarında asal ve asal olmayan en küçük iki basamaklı sayıyı bulmamız gerekiyor. Asal olmayan iki basamaklı en küçük sayı 10’dur, fakat 10, 30 ile ortak çarpana sahiptir. Dolayısıyla bu uygun değildir.
Devam edelim ve aralarında asal olan en küçük asal olmayan sayıyı bulalım. Bu sayıyı 11, 13, 14, … şeklinde deneyelim. İlk önce:
- 11: Asaldır.
- 12: 6 x 2, asal değil fakat 30 ile ortak asal çarpanları vardır.
- 13: Asaldır.
- 14: 2 x 7, asal değil fakat 30 ile ortak asal çarpanları vardır.
- 15: 3 x 5, asal değil fakat 30 ile ortak asal çarpanları vardır.
- 17: Asaldır.
- 18: 3 x 6, asal değil fakat 30 ile ortak asal çarpanları vardır.
- 19: Asaldır.
- 20: 2 x 10, asal değil fakat 30 ile ortak asal çarpanları vardır.
Bu şekilde devam ederek aralarında asal olan ve asal olmayan en küçük iki basamaklı sayı 49’dur. Çünkü 49, 7 x 7 olup 30 ile ortak çarpan içermez.
Sonuç olarak, bu koşulları sağlayan en küçük sayı 49’dur.