Verilen Denklem:
Verilen denklem: \log_9{a} = 3
Bu denklemde, logaritma tabanı 9 ve sonucu 3 olan ifadeyi çözmemiz gerekiyor.
Adım Adım Çözüm:
-
Logaritmik Denklemi Üslü Denkleme Çevirme:
Logaritma formülüne göre:
$$ \log_b{x} = y \iff b^y = x $$Burada, b = 9, y = 3 ve x = a. Yani:
$$ 9^3 = a $$ -
Hesaplama:
$$ 9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729 $$
Yani, a = 729.
-
Yeni Logaritma İfadesi:
Şimdi, bizden istenen \log_3{a} ifadesini bulalım. Burada a = 729 olduğundan:
$$ \log_3{729} $$
Çünkü a zaten 9^3 eşit olduğu için 9’u da 3^2 şeklinde yazabiliriz:
$$ 9 = 3^2 $$
Bu durumda a şu şekilde yazılabilir:
$$ a = 9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 $$
Bu durumda:
$$ \log_3{729} = \log_3{3^6} $$
-
Sonuç:
Logaritmanın tanımına göre \log_b{x^y} = y \cdot \log_b{x} olduğundan ve \log_3{3} = 1 olduğu için:
$$ \log_3{3^6} = 6 \cdot \log_3{3} = 6 \cdot 1 = 6 $$
Yani, \log_3{a} = 6.
Özet: Verilen \log_9{a} = 3 denklemini çözerek a = 729 bulduk ve \log_3{729} = 6 sonucuna ulaştık.