Çözüm ve Cevap
Soruda verilen bilgiler ışığında çözümü adım adım yapalım:
1. İlk Denklem
İlk denklem şu şekilde verilmiş:
Ancak tahtadan bir sayı silindiği için bu denklemin eşit olduğu sayı eksik.
2. İkinci Denklem ve Tamamlanan Çözüm
İkinci denklem için bilgi verilmiş ve çözümü tamamlanmış:
Bu denklem çözülerek x \cdot y = 256 sonucu elde edilmiş.
3. İlk Denklemden Silinen Kısmı Bulma İşlemleri
- İlk denklemde eksik olan eşitliği bulmak için çözüm yapılmış.
- Silinen sayı, logaritma özellikleri ve verilen ipuçları kullanılarak bulunabilir.
Denklemler Üzerinde Basit Logaritma İlişkileri
- Logaritma özelliklerini hatırlayalım:
- \log_a a = 1
- \log_a b^n = n \cdot \log_a b
Bu bilgileri kullanarak işlem yapabiliriz.
Silinen Eşitlik: Cevap, eksik olan sayıdan doğrudan bulabileceğiniz bir detaydır.
Doğru çözüm ve cevap: C Şıkkı (6)
Eğer başka bir detay varsa sorabilirsiniz! 
@username
Soru: Bir öğrenci, tahtadaki iki logaritmalı denklemden birincisinin sağ tarafındaki sabit sayıyı silmiş ve öğretmen doğru çözüme ulaşarak çarpımın 256 olduğunu (yani x \cdot y = 256) bulmuştur. Silinen sayının kaç olduğu (A)4, (B)5, (C)6, (D)7, (E)8 seçenekleri arasındadır.
Aşağıdaki çözüm, silinen sabit sayıyı adım adım nasıl bulabileceğimizi göstermektedir:
İçindekiler
- Problemin Kurulumu
- Logaritmalı Denklemlerin Tahmini Yapısı
- Değişkenleri Üs Biçiminde Tanımlama
- 2. Denklemin (Verilen) Çözümü
- 1. Denklemin (Silinen) Sabitine Ulaşma
- Sayısal Değerleriyle Doğrulama
- Sonuç ve Özet Tablo
1. Problemin Kurulumu
Öğretmenin tahtada çözdüğü örnek, iki logaritmalı denklem içermektedir. İkincisinin sağ tarafının 13 olduğu görülüyor ve çözüme göre x \cdot y = 256 elde ediliyor. Ancak birinci denklemde sağ tarafındaki sabit (kaç olduğu) silinmiş. Bize düşen görev, bu silinmiş sabitin hangi tam sayı olduğunu bulmaktır.
2. Logaritmalı Denklemlerin Tahmini Yapısı
Soruda geçen ifadelere bakılırsa, denklem çiftinin şu biçimde olduğu düşünülmektedir:
-
Denklem (silinen sabit içeren):
$$\log_x \bigl(y^2\bigr) ;+; \log_y \bigl(x^2\bigr) ;=; S$$
Burada S silinen sabit sayıyı temsil eder. -
Denklem (sağ tarafı 13 olarak bilinen):
$$\log_y (x) ;+; \log_2 \bigl(x^2\bigr) ;=; 13$$
Ayrıca problemden biliyoruz ki doğru çözüm yapıldığında
$$x \cdot y = 256.$$
3. Değişkenleri Üs Biçiminde Tanımlama
Logaritmalı ifadeleri çözmek için x ve $y$’yi 2 tabanında üslü olarak tanımlayalım:
- x = 2^a
- y = 2^b
Bu tanımlamalara dayanarak, problemde x·y = 256 eşitliğinden:
Dolayısıyla
Bu, birinci önemli eşitliğimizdir.
4. 2. Denklemin (Verilen) Çözümü
İkinci denklem:
4.1. \log_y (x) İfadesi
- x = 2^a,\, y = 2^b \implies \log_y (x) = \log_{2^b} (2^a).
- Bir taban dönüşümü kuralıyla:
$$\log_{2^b} (2^a) = \frac{a}{b}.$$
4.2. \log_2 (x^2) İfadesi
- x^2 = (2^a)^2 = 2^{2a} \implies \log_2 (2^{2a}) = 2a.
4.3. İkinci Denklemin Bileşenleri
Bu durumda, denklem
şeklinde yazılabilir.
4.4. a + b = 8 Bağıntısıyla Birleştirme
Ek olarak b = 8 - a olduğu için:
Bu denklemi çözdüğümüzde, a ve b reel sayılar (çoğunlukla pozitif) olarak bulunur. Neticede a \approx 5.438 ve b \approx 2.562 (veya tersi bir sıralama) sağlandığında hem a+b=8 hem de ikinci denklemin değeri 13 olur.
5. 1. Denklemin (Silinen) Sabitine Ulaşma
Birinci denklem:
5.1. \log_x (y^2)
- y^2 = (2^b)^2 = 2^{2b}
- x = 2^a \implies \log_x (y^2) = \log_{2^a} (2^{2b}) = \frac{2b}{a}.
5.2. \log_y (x^2)
- x^2 = (2^a)^2 = 2^{2a}
- y = 2^b \implies \log_y (x^2) = \log_{2^b} (2^{2a}) = \frac{2a}{b}.
Dolayısıyla bu iki parçanın toplamı:
6. Sayısal Değerleriyle Doğrulama
Yukarıda ikinci denklemden ve a+b=8 koşulundan yaklaşık
- a \approx 5.438,
- b \approx 2.562
bulunmuştur.
Böylece:
Toplam:
Bu değer, çok büyük olasılıkla 5’e (seçeneklerde yer alan en yakın tam sayı) karşılık gelir. Soruda zaten silinen sabitin bir tam sayı olduğu ima edilmektedir.
Dolayısıyla silinen sayı S \approx 5 biçiminde sonuçlanır.
7. Sonuç ve Özet Tablo
Elde edilen bütün sonuçlar, birinci denklemin sağ tarafının yaklaşık olarak 5 çıktığını gösterir. Seçeneklerden de 5 olduğu anlaşıldığına göre, silinen ifade (A)4, (B)5, (C)6, (D)7, (E)8 arasından 5’tir.
Aşağıdaki tabloda, iki denklem ve ana adımlar özetlenmiştir:
| Adım | Açıklama | İşlem Sonucu |
|---|---|---|
| 1. Denklem (silinen sabit) | \log_x \bigl(y^2\bigr) + \log_y \bigl(x^2\bigr) = S | S \approx 5 |
| 2. Denklem (bilinen sabit 13) | \log_y (x) + \log_2 \bigl(x^2\bigr) = 13 | a/(8-a) + 2a = 13 |
| x \cdot y = 256 | 2^{\,a+b} = 2^8 = 256 \implies a + b = 8 | a + b = 8 |
| Hesaplanan a, b | a \approx 5.438, \quad b \approx 2.562 | Uygun reel çözümler |
| Birinci denklemin toplamı | S = \dfrac{2b}{a} + \dfrac{2a}{b} \approx 5.19 | Yaklaşık 5 |
| Silinen sayının tam sayı değeri | (B) 5 |
Sonuç: Tahtadaki ilk denklemin silinen sabiti, 5 sayısıdır.
Soru:
Bir öğrenci, tahtadaki “(log₂ x) + (log₂ y²) = …” biçimindeki ilk denklemde eşit olduğu sayıyı (sağ tarafı) yanlışlıkla silmiştir. Diğer denklem “(log₂ y) + (log₂ x²) = 13” olarak biliniyor ve sonunda x·y = 256 elde ediliyor. Buna göre, silinen sayı kaçtır?
Cevap:
Bu tip sorularda logaritmaların tabanı çoğunlukla 2 seçilir; çünkü x·y = 256 = 2⁸ gibi tam kuvvet olduğunda sonuç “temiz” gelmektedir. Önce elimizdeki bilgileri düzenleyelim:
• İkinci denklem:
(log₂ y) + (log₂ x²) = 13
Bu, log₂(y) + 2·log₂(x) = 13 demektir;
yani log₂(x²·y) = 13 ⟹ x²·y = 2¹³ = 8192.
• Ayrıca x·y = 256 = 2⁸.
Buradan x ve y’yi bulmak için:
x·y = 2⁸ ⇒ y = 2⁸ / x
x²·y = 2¹³ ⇒ x²·(2⁸ / x) = 2¹³ ⇒ 2⁸·x = 2¹³ ⇒ x = 2⁵ = 32.
Sonra y = 2⁸ / 32 = 2³ = 8.
Bu değerlerle ikinci denklemin 13 çıktığını görebiliriz:
• log₂(y) = log₂(8) = 3,
• log₂(x²) = log₂(32²) = log₂(1024) = 10,
• Toplam = 3 + 10 = 13.
Şimdi silinen ilk denklem:
(log₂ x) + (log₂ y²) = log₂(x) + 2·log₂(y) = log₂(x·y²).
Bulduğumuz x=32 ve y=8 için:
x·y² = 32·(8²) = 32·64 = 2048
⟹ log₂(2048) = 11.
Dolayısıyla ilk denklemde silinen sayı 11’dir.