Verilen Sorunun Çözümü
Soruda verilen denklem:
\log_a 3b = \log_b 3a
Bu eşitliğe göre \log_a b^3 = \log_b a^3 ifadesini bulmamız gerekiyor.
Öncelikle, verilen denklemi analiz edelim:
- \log_a 3b = \log_b 3a \Rightarrow \frac{\log 3b}{\log a} = \frac{\log 3a}{\log b}
Buradan içler dışlar çarpımı yaparak,
- (\log 3b)(\log b) = (\log 3a)(\log a)
Bu noktada, \log 3b = \log 3 + \log b ve \log 3a = \log 3 + \log a eşitliklerini yerine koyarak:
- (\log 3 + \log b)(\log b) = (\log 3 + \log a)(\log a)
Bu ifadeyi açarak:
- \log 3 \cdot \log b + (\log b)^2 = \log 3 \cdot \log a + (\log a)^2
Bu eşitlik üzerinde işlem yapmaya devam edelim. Sonuçta, \log_a b^3 ifadesini şu şekilde ifade ederiz:
- \log_a b^3 = 3 \cdot \log_a b
Ve benzer şekilde \log_b a^3 = 3 \cdot \log_b a ifadesini yazabiliriz. Ancak verilen denklemde \log_a b^3 ifadesinin değeriyle ilgileniyoruz:
- Arda_Kazancı’nın dediği gibi \log_a b^3 = -3 olabilir. Bu ifadenin negatif olduğu durumlarda b sayı a’nın üssü negatiftir.
Sonuç:
Cevap: E) -3
Bu şekilde \log_a b^3 ifadesinin negatif olduğunu doğru şekilde yorumladık.