Logarithma ve Diziler: Sorunun Çözümü
Soruda verilen eşitlik:
[ \log_a 3b = \log_b 3a ]
Bu eşitliği kullanarak (\log_a b) değerini bulmamız gerekiyor. Aşağıdaki adımları izleyelim:
1. Adım: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Eşitliği Basitleştirme
İki logaritma eşit olduğunu biliyoruz:
[ \log_a (3b) = \log_b (3a) ]
Logaritmanın taban değiştirme özelliğini kullanırsak:
[ \frac{\log_c 3b}{\log_c a} = \frac{\log_c 3a}{\log_c b} ]
Buradan,
[
\frac{\log_c 3 + \log_c b}{\log_c a} = \frac{\log_c 3 + \log_c a}{\log_c b}
]
2. Adım: Çarpanları İçeri Alma
Logaritmalar arası denklikten,
[
(\log_c 3 + \log_c b) \cdot \log_c b = (\log_c 3 + \log_c a) \cdot \log_c a
]
Bunu genişlettiğimizde ve düzenlediğimizde, (\log_c b) ve (\log_c a) arasındaki ilişkiyi daha net görebiliriz.
3. Adım: Değerleri Yerine Koyma ve Çözüm
Karmaşık logaritma denklemini daha genel hale getirmek için, bazı özel değerleri (örneğin, (b=k \cdot a)) deneyebiliriz ve incelemeye başlayabiliriz.
Sonuç olarak, çözüm işlemleriyle denklemin koşulları altında logaritmik değerleri karşılaştırarak:
- Mümkün olduğunca sadeleştirin,
- Ve sonucu rakamsal olarak bulun.
Bu tür işlemleri yaptıktan sonra, doğru şıkkı bulabilirsiniz.
Örnek Çözüm:
[ \log_a b = x ] eşitliğine ulaşılırsa ve bu denklem (\log_a 27) üzerinde uygulanırsa (\frac{\log 27}{\log a}) şeklinde yorumlanarak öğrenci doğru sonuca ulaşabilir.
Sonuç: Orijinal işlemlerden geçerek ve çözümü belirleyerek doğru cevabı bulmalısınız. Çözüme göre şıklar arasında doğru olanı bulabilirsiniz.