kareleri toplamı 55 ve çarpımları 3 olan iki reel sayının farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Kareleri toplamı 55 ve çarpımları 3 olan iki reel sayının farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Cevap:
Bu tür problemlere, iki bilinmeyenli denklemler kurarak ve çözümler bularak yaklaşabiliriz. Verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:
-
İki reel sayının karelerinin toplamı 55:
x^2 + y^2 = 55 -
İki reel sayının çarpımı 3:
x \cdot y = 3
Bu sistemde, x ve y sayılarının farkını (x - y) bulmak için önce bazı dönüşümler yapmamız gerekir.
Adım 1: Toplamlarının karesi
İki sayının toplamının karesini alarak başlayalım:
(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
Bu ifadeye, verilen bilgileri eklediğimizde:
(x + y)^2 = 55 + 2 \cdot 3
(x + y)^2 = 55 + 6
(x + y)^2 = 61
Bu durumda, (x + y)^2 = 61 olduğundan, toplamlarının karesi 61 olan iki sayının toplamını buluyoruz:
x + y = \sqrt{61} \quad \text{veya} \quad x + y = -\sqrt{61}
Adım 2: Farklarının karesi
İki sayının farklarının karesini alarak devam edelim:
(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy
Bu ifadeye de verilen bilgileri eklediğimizde:
(x - y)^2 = 55 - 6
(x - y)^2 = 49
Bu durumda, (x - y)^2 = 49 olduğundan, farklarının karesi 49 olan iki sayının farkını buluyoruz:
x - y = \sqrt{49} \quad \text{veya} \quad x - y = -\sqrt{49}
x - y = 7 \quad \text{veya} \quad x - y = -7
Bu nedenle, kareleri toplamı 55 ve çarpımları 3 olan iki reel sayının farkı 7 veya -7 olabilir.
Cevap:
$$\boxed{7 , \text{veya} , -7}$$
Bu problemde, farkın herhangi bir mutlak değeri ile ilgilendiğimizden, doğru seçenek genellikle
$$\boxed{7}$$ şeklindedir.