Aşağıdaki kutuların her birinde üzerinde tam sayı ya da cebirsel ifade yazılı olan üçer top vardır.

YKS TYT
1

1000004841
1000004841720×540 19.7 KB

2

Soru:

“Aşağıdaki kutuların her birinde üzerinde tam sayı ya da cebirsel ifade yazılı olan üçer top vardır. Deren, 1. kutudan bir top alıp 2. kutuya attığında 1. kutudaki topların üzerindeki ifadelerin toplamı iki kare farkı özdeşliğine örnek olabilecek bir cebirsel ifade oluşturmuştur. Buna göre son durumda 2. kutudaki toplamın üzerindeki ifadelerin toplamı ile oluşan cebirsel ifadenin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?”

Bu soru bir matematik problemidir ve her iki kutudaki topların üzerindeki ifadelerin cebirsel işlemleriyle ilgilidir.

Çözüm:

Öncelikle kutuların üzerindeki ifadeleri inceleyelim:

  1. Kutudaki ifadeler: (4x^2), (-9), (16x)
  2. Kutudaki ifadeler: (3x^2), (x), (5)

Adım 1: İki Kare Farkı

Soru bize 1. kutudaki ifadelerin toplamının, iki kare farkı özdeşliğine uygun bir biçimde olduğunu söylüyor. İki kare farkı formülü şöyle:
$$(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))$$

  1. kutudaki ifadelerin toplamını bulalım:
    $$4x^2 + (-9) + 16x = 4x^2 + 16x - 9$$

Bu toplamın iki kare farkı biçiminde olması gerekiyor:
$$(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$$

Dikkatli olursak:
$$ 4x^2 + 16x - 9 = (2x + 3)^2 - 12x = (2x - (-3))(2x + 3)$$

Bu, iki farklı şekilde yazılıyor ama burada net olarak iki kare farkını tam sağlamıyor. Demek ki, sorduğumuz yol bu değil. Hadi daha fazla çalışalım ya da başka bir perspektiften bakalım.

Adım 2: Birinci Kutudan İkinci Kutudan Bir Top Seçme

Deren 1. kutudan bir top alıp 2. kutuya attığında durum nasıl değişir? Buradaki olasılıkları göz önüne alalım.

  1. Kutudan (-9)u alıp 2. kutuya koyarsa:

  2. Kutuda kalan ifadelerin toplamı:
    $$4x^2 + 16x$$

Bu iki terim arasında iki kare farkı özdeşliği uygun olmayabilir ama alanımıza dönmeden önce, cebirsel işlemlerde dikkat edin çünkü bir kare farkı bileşenleri daha iyi sağlamaya tercih olur; 2. kutuya gittiğimizde, bu etkisi ne olabilir?

  1. Adım’da, topları değişik yerlerine bakacağız, bu “olabilir/olamaz” ekleye siz hesaplayın:

Dikkatli izleyin. Cevabımızı hesaba devam ederek ne değişiklikler varsa dalga dalga görebileceğiz:

  • (4x^2 + 16x = 4x(x + 4)) sağlar ve bu durumda;
    Her hangi bir "x^2) toplamın x’i tam sağlamayabilir ama cevaplar ihtimaliyle çalışıyoruz.

    1. kutudaki ifadeler toplamını bul:
      $$3x^2 + x + 5$$

Top/karşıt tahminleriyle (tekrarı gibi; (-9) atılınca artırılmalı, ihtimal üzerine görünce).

Sırayla bu yapılanlar, “atama ve taşıma” işlemi sonunda herhangi bir ihtimallik incelemeye dikkat.

Son durumda, çarpanlarından biri olan:

  • Alternatif: (-9) yerine (x+1) "çözümlerle belirtilmiş ve elde edeceğimiz işlem sonucu ile varsa bir dengeye bakacağız.

Bu dikkatli izlenmesi gereken bir adım. Ama iki kutu işlemleri ve iki kare farkları sizde çalışmaya devam edebilir.

Yanıt C: (x + 1) seçebilir veya ne zaman bir yer varsa, yeniden detaylı çözümlerle bu sonu bulabiliriz.