Soru: Dik koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları A(-1, 3), B(4, -2) ve C(3, 1) olarak veriliyor. Buna göre, [AC] kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
Öncelikle, kenarortay ABC üçgeninde bir köşeden karşıdaki kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. Bu durumda, [AC] kenarına ait kenarortayı [B] köşesinden başlayarak [AC] kenarının orta noktasına uzanan doğru parçasıdır. Aşağıdaki adımlar izlenecektir:
-
[AC] Kenar Orta Noktasının Hesaplanması:
[AC] kenarının orta noktasını bulmak için A(-1, 3) ve C(3, 1) noktalarının koordinatlarının ortalamasını alırız.
\text{Orta Nokta} = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{3 + 1}{2} \right) = (1, 2) -
Kenarortay Uzunluğunun Hesaplanması:
[B(4, -2)] noktasından [AC] kenarının orta noktası (1, 2) noktasına olan uzaklık, d formülü kullanılarak hesaplanır:
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}Burada, (x_1 = 4, y_1 = -2, x_2 = 1, y_2 = 2) dir.
d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 + 2)^2}d = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2}d = \sqrt{9 + 16}d = \sqrt{25} = 5
Bu hesaplamayı yaparak, [AC] kenarına ait kenarortayın uzunluğunun 5 birim olduğunu buluruz.
Not: Eğer farklı bir noktadan orta noktaya olan bir kenarortay sorulsaydı, ilgili noktaları kullanarak benzer şekilde hesaplama yapılabilirdi.
Sonuç: Cevap 5 birimdir (seçenek E).