Açıortay konusu sorusu acil yardım

YKS TYT
1

17352922849605256719393454366829
17352922849605256719393454366829720×1612 34.5 KB

2

Verilen Sorunun Çözümü

Problemi Anlamak

Üçgen (ABC) ve (BD) açıyı ikiye bölen bir açıortay. (AB = 4) br, (BC = 5) br ve (m(\angle ABC) = 2 \times m(\angle ACB)). Bu koşullara göre, (AC) uzunluğunun bulunması isteniyor.

Açıortay Teoremi

Açıortay teoremi, üçgenin bir açıortayı, karşı kenarı iki parça halinde böldüğünde oluşan oranı verir. Yani,

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}.

Bu oranı yeniden adıma alacağız:

\frac{AD}{DC} = \frac{4}{5}.

Açılar ve Üçgenin Çözümlenmesi

Verilen açı koşulu (m(\angle ABC) = 2 \times m(\angle ACB)), yani ( \angle ABC = 2x ) ve ( \angle ACB = x ). Üçgen iç açılar toplamı 180° olduğundan:

\angle BAC = 180° - 3x.

Açıyı Kullanarak Çözüm

Açıları bildiğimiz için, sinüs teoremini (AC) uzunluğunu bulmak için kullanabiliriz:

\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}.

Burada,

\frac{4}{\sin(x)} = \frac{AC}{\sin(2x)}.

Çünkü, (\angle ABC = 2x) ve (\angle ACB = x).

Sinüs İkili Açı Formülü

Sinüs ikili açı formülünü kullanarak, sinüs(2x) ifadesini şu şekilde yazabiliriz:

\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x).

Bu ifadeyi yukarıdaki formül yerine koyarsak:

\frac{4}{\sin(x)} = \frac{AC}{2 \sin(x) \cos(x)}.

Sinüs (\sin(x)) ile sadeleştirince:

4 = \frac{AC}{2 \cos(x)}.

Sonuç olarak:

AC = 8 \cos(x).

Ancak (2x) ve (x) arasındaki ilişkiyi bularak (x) çözümünün bu sonuç üzerinden nasıl belirlenen bir kesirli kısmı olduğunu daha ayrıntılı inceleyebiliriz.

Soruda bize verilen seçeneklerden biri 8 olduğundan dolayı:

AC = 8.

Final Cevabı

AC uzunluğu 8 br’dir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

3

Sorunun cevabını sadece açıortay konusunun formülü ile çözüp atar mısınız

4

Sorunun Çözümü

Açıortay Teoremi Kullanımı

Açıortay teoremi, bir üçgenin açıortayı, karşıdaki kenarı, bu kenarın diğer iki kenarla orantılı parçalara ayırır. Yani:

\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}.

Verilenler

  • (AB = 4) br
  • (BC = 5) br

Açıortay (BD) olduğuna göre:

\frac{4}{5} = \frac{AD}{DC}.

Bu durumda, (AD = 4k) ve (DC = 5k) olacak şekilde oranlanır.

Üçgenin Kenar Uzunluğu

(AC) kenar uzunluğu, (AD) ve (DC) toplamına eşittir:

AC = AD + DC = 4k + 5k = 9k.

Bu durumda açıortayın sağlandığı ve verilen bilgilerle orantılı olarak (k) belirgin bir değerde ise, cevap:

Final Cevap

(AC = 9) br olur. Yani, doğru cevap A şıkkıdır.