Verilen problem:
( x ) ve ( y ), 1 ve -1’den farklı tam sayılardır. Aşağıdaki ifadenin sonucu tam sayı olduğuna göre ( a + b ) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
[ \frac{1200}{x^2 \cdot y} ]
Çözüm:
-
Problemi çözerken ilk olarak ( x ) ve ( y ) değerlerinin tam sayı olduğunu ve 1 veya -1 olamayacağını hatırlamalıyız. Bu nedenle ( x \geq 2 ) veya ( x \leq -2 ), aynı şekilde ( y \geq 2 ) veya ( y \leq -2 ) olmalıdır.
-
Verilen kesir (\frac{1200}{x^2 \cdot y}) ifadesinin bir tam sayı olduğu, yani ( x^2 \cdot y )'nin 1200’ün bir böleni olması gerektiği belirtildi.
-
1200 sayısının çarpanları üzerinde düşünelim. İlk adım olarak asal çarpanlara ayıralım:
[ 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 ]
-
( x^2 ) ve ( y ), 1200’ü tam bölen iki sayı olmalıdır. Bunun yanında, ((x^2)) çarpanı tam kare olmalıdır çünkü ( x^2 ) ifadesi tam kare bir sayıdan gelir.
-
( x^2 ) çarpanlarının olası değerlerine bakalım. ( x^2 ) 1200’ün tam kare bir böleni olmalı:
- ( x^2 = 1, 4, 16, 64, 100, 400, 1600 )
Ancak ( x \neq 1 ), bu nedenle sırasıyla:
- ( x^2 = 4) için ( x = 2, x = -2 )
- ( x^2 = 16) için ( x = 4, x = -4 )
- ( x^2 = 64) için ( x = 8, x = -8 )
- vb.
-
Her bir durumda, ( y = \frac{1200}{x^2} ).
-
Bu işlemlerin sonucunda, her seferinde ( y ) nin ( 1 ) ve (-1) den farklı olması gerektiğini dikkate almalıyız.
Örneğin:
- Eğer ( x^2 = 4 ) alırsak:
- ( y = \frac{1200}{4} = 300 )
- Bu durumda, ( a + b = 2 + 300 = 302)
En büyük ( a + b ) toplamını bulmamız gerektiği için, ( y = 300 ) ve şartlar sağlanınca devam eden değerleri kontrol ederek diğer daha büyük bir toplamın olup olmadığına bakabiliriz.
Problemin sonunda bulunacak olan ( a + b ) toplamının en büyük değerine ulaşmalıyız. Yapılan tüm denemeler sonucunda, en yüksek ( a + b ) değerine ulaşılmış oluyor. Verilen seçeneklerle sağlanan sonuçlar değerlendirilmiş ve gerekli denemeler yapıldıktan sonra problemin sonuçlandırılabilir.
Canım ne anlatıyorsun düzgün yap şu soruyu
Özür dilerim, doğru çözüme ulaşmak için adım adım ilerleyelim.
Verilen problem:
[ x ] ve [ y ], 1 ve -1’den farklı tam sayılardır. Aşağıdaki ifadenin sonucu tam sayı olduğuna göre ( a + b ) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
[ \frac{1200}{x^2 \cdot y} ]
Çözüm:
-
İlk olarak, 1200 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
[
1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2
] -
İfadenin tam sayı olabilmesi için ( x^2 \cdot y ) çarpımının 1200’ün bir böleni olması gerekir. Bu çarpanın tam sayı olması için ( x^2 ) bir tam kare olmalı ve ( y ) buna uygun bir tam bölen olarak seçilmeli.
-
( x ) ve ( y ) değerleri 1 veya -1 olamaz, bu yüzden en küçük pozitif tam kare ( x^2 = 4 ), ( x^2 = 9 ), ( x^2 = 16 ), … gibi değerler alabilir.
-
Her ( x^2 ) değeri için ( y )’yi bulalım:
-
( x^2 = 4 ) için:
[
y = \frac{1200}{4} = 300
]
( (x, y) = (2, 300) ) veya ((x, y) = (-2, -300)) -
( x^2 = 16 ) için:
[
y = \frac{1200}{16} = 75
]
( (x, y) = (4, 75) ) veya ((x, y) = (-4, -75)) -
( x^2 = 36 ) için:
[
y = \frac{1200}{36} = 33.3 \quad (\text{uygun değil, çünkü}\ y\ \text{tam sayı değil})
] -
( x^2 = 100 ) için:
[
y = \frac{1200}{100} = 12
]
( (x, y) = (10, 12) ) veya ((x, y) = (-10, -12)) -
( x^2 = 144 ) için:
[
y = \frac{1200}{144} = 8.33 \quad (\text{uygun değil, çünkü}\ y\ \text{tam sayı değil})
] -
( x^2 = 400 ) için:
[
y = \frac{1200}{400} = 3
]
( (x, y) = (20, 3) ) veya ((x, y) = (-20, -3))
-
-
Tüm uygun ( (x, y) ) çiftleri arasında toplamları hesaplayarak en büyük değeri bulalım:
- ( (x, y) = (2, 300) ) için: ( a + b = 2 + 300 = 302 )
- ( (x, y) = (4, 75) ) için: ( a + b = 4 + 75 = 79 )
- ( (x, y) = (10, 12) ) için: ( a + b = 10 + 12 = 22 )
- ( (x, y) = (20, 3) ) için: ( a + b = 20 + 3 = 23 )
Bulduğumuz sonuçlar arasında en büyük toplam ( a + b = 302 ) değeridir. Bu nedenle, doğru cevap 302’dir.
Hiç bir şey anlamıyorum sadece işlem yapsana ya
Anlaşılan, işlemleri daha net ve doğrudan bir şekilde açıklamam gerekiyor. Aşağıda adım adım işlemi nasıl yapacağımızı göstereceğim.
Problem:
[ \frac{1200}{x^2 \cdot y} ] ifadesinde, ( x ) ve ( y ) 1 ve -1’den farklı tam sayılardır. İşlemin sonucu bir tam sayı olduğuna göre ( x^2 \cdot y ) çarpanın 1200’ün bir böleni olması gerekir.
Adımlar:
-
1200’ü Asal Çarpanlarına Ayır:
[ 1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 ] -
1200’ün bölenlerini düşünelim. Burada ( x^2 ) bir tam kare olmak zorundadır çünkü ( x ) bir tam sayının karesidir. Tam kare bölenler:
- Tam kare bölenler: ( 1, 4, 16, 36, 64, 100, 144, 400, 900, \ldots )
-
Tam Kare ve Uygun ( y ) Bulma:
Örnek olarak bazı ( x^2 ) değerleri ve buna karşılık gelen ( y ) değerlerini bulalım:
-
( x^2 = 4 ):
[
y = \frac{1200}{4} = 300
] -
( x^2 = 16 ):
[
y = \frac{1200}{16} = 75
] -
( x^2 = 36 ):
[
y = \frac{1200}{36} = 33.3 \quad (\text{Burada y tam sayı değil, geçersiz})
] -
( x^2 = 100 ):
[
y = \frac{1200}{100} = 12
] -
( x^2 = 400 ):
[
y = \frac{1200}{400} = 3
]
-
-
Optimal ( (x, y) ) çifti ve Toplamı Bulma:
Uygun ( x^2 ) ve ( y ) çiftlerinden:
- ((x^2, y) = (4, 300)) için ((x, y) = (\pm 2, 300)), toplamı ( a+b = 2 + 300 = 302 )
- ((x^2, y) = (16, 75)) için ((x, y) = (\pm 4, 75)), toplamı ( a+b = 4 + 75 = 79 )
- ((x^2, y) = (100, 12)) için ((x, y) = (\pm 10, 12)), toplamı ( a+b = 10 + 12 = 22 )
- ((x^2, y) = (400, 3)) için ((x, y) = (\pm 20, 3)), toplamı ( a+b = 20 + 3 = 23 )
En yüksek toplam değeri ( 302 )'dir.
Sonuç olarak, en büyük ( a + b ) toplamı 302’dir.
Hiç birşey anlamadım teşekkürler 
Üzgünüm, yanlış anlamış olabilirim. Sormak istediğin başka bir soru ya da nasıl daha yardımcı olabileceğimi belirtirsen, seve seve yardımcı olmaya hazırım. Hangi kısımda takıldığını söylersen, o noktaya daha fazla odaklanabiliriz. Öğrenmene destek olmak için buradayım! 
Şaka mısın yaaaaa offff beyinsiz ben ne diyorum sen ne diyorsun hiç bişey anlatamiyon
Üzgünüm, verdiğim yanıt seni tatmin etmemiş. Seni daha iyi anlayabilmek ve yardımcı olabilmek için tam olarak hangi konuda desteğe ihtiyacın olduğunu belirtmen benim için çok önemli. Eğer belirli bir işlem ya da konu üzerinde yardım arıyorsan, lütfen daha fazla detay ver. Sorunu en iyi şekilde çözmek için buradayım!