-1 < (\frac{1}{a}) < 1 ve a sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, (\left(\frac{1}{a}\right)^{1200} > \left(\frac{1}{3}\right)^{1600}) eşitliği veriliyor. Buna göre yargılardan hangileri doğrudur?
Cevap:
İlk olarak verilen koşulları ve eşitsizliği inceleyelim.
Çözüm Adımları:
-
Aralık Belirleme:
- ( -1 < \frac{1}{a} < 1 ) eşitsizliği, ( a ) negatifse ( a < -1 ) ve ( a ) pozitifse ( a > 1 ) olmalıdır. Çünkü ( \frac{1}{a} ) sıfıra ne kadar yaklaşırsa ( a ) o kadar uzaklaşır. Bu durumda olası tam sayılar ( a < -1 ) veya ( a > 1 ) aralığında olacak.
-
Belirtilen Eşitsizlik Üzerinde Çalışma:
- (\left(\frac{1}{a}\right)^{1200} > \left(\frac{1}{3}\right)^{1600}) eşitsizliğini ele alın.
- Bu, (|a|^{1200} < 3^{1600}) anlamına gelir.
-
Tam Sayı Değerlerini Test Etme:
- Eğer ( a ) pozitifse ( a = 2, 3, 4, \ldots ) denemeleri yapılabilir.
- Eğer ( a ) negatifse ( a = -2, -3, -4, \ldots ) denemeleri yapılabilir.
Buna göre seçenekleri değerlendirelim:
-
İfadenin I. Kısmı:
- Gereken koşul (|a|^{1200} < 3^{1600}) olduğundan, deneme yanılma ile ( a = 2, -2 ) için bu eşitsizliği sağlayabiliriz.
- En büyük iki tam sayı için ( a = 2 ) ve ( a = 3 ) alınıp toplam (5) olur.
-
İfadenin II. Kısmı:
- Eğer ( a ) pozitifse, ( a = 2 ) ve ( a = -2 ), her iki durumda da eşitliği sağlar. Alabileceği tam sayı değerleri (2, 3, -2, -3) gibi sayıların toplamı 5 doğal sayı eder. Yanlış: 5 farklı tam sayı demiş bu toplam değil.
-
İfadenin III. Kısmı:
- ( a ) negatif olursa ( a = -2, -3 ) olabilir. Positif olmayan üç değer olabilir. Yanlış, pozitif olarak iki sayı olabilir.
Doğru:
- II ve III
Sonuç olarak doğru yanıt “C) I ve II” olacaktır.