Görseldeki soruda verilen sayılar ve bunların ait olduğu sayı kümeleri inceleniyor. İki sayı seçerek, bu sayıların ait olduğu küme sayısı kadar puan alınıyor. En yüksek puanı bulmak için her sayı kümesine ait olan sayıları belirlemek gerekiyor:
- \sqrt{5}: İrrasyonel sayılar (I) ve gerçek sayılar (R).
- -3: Tam sayılar (Z) ve gerçek sayılar (R).
- 2: Sayma sayıları (S), doğal sayılar (N), tam sayılar (Z) ve gerçek sayılar (R).
- \frac{2}{3}: Rasyonel sayılar (Q) ve gerçek sayılar (R).
- 0: Doğal sayılar (N), tam sayılar (Z) ve gerçek sayılar (R).
- -\pi: İrrasyonel sayılar (I) ve gerçek sayılar (R).
En fazla puanı almak için en fazla kümeye ait iki sayıyı seçmeliyiz. İşte olası seçimler ve puanlar:
- 2 (4 küme) ve 0 (3 küme): 4 + 3 = 7 puan
- 2 (4 küme) ve -3 (2 küme): 4 + 2 = 6 puan
Bu nedenle, öğrenci en fazla 7 puan alabilir. Doğru seçenek B) 8 ama bu çözüme göre aslında 7 puan oluyor.
Verilen sayılarla “sayı silme oyunu” oynanıyor. Sayıların çarpımı sonucu kalan sayılardan biri olduğunda bu sayıların hepsi siliniyor. Hiç sayı kalmadığında, x’in alabileceği doğal sayı değerleriyle tüm sayılar silinecek.
Verilen sayılar: \sqrt{5}, 3, 2\sqrt{5}, 6, x, 10
Adım Adım Analiz:
-
Çarpım Kontrolleri:
- \sqrt{5} \times 2 = 2\sqrt{5} (Bu durumda \sqrt{5} ve 2\sqrt{5} silinir)
- 3 \times 2 = 6 (Bu durumda 3 ve 6 silinir)
- 6 \times \frac{1}{2} = 3 (Bu durumda 6 ve \frac{1}{2} silinir)
- 3 \times \frac{10}{3} = 10 (Bu durumda 3 ve 10 silinir)
-
Hedeflenen Çarpım:
- Eğer x yerine doğal bir sayı koyarak bütün sayıları silebilirsek, bu değeri bulmamız gerekiyor.
Olası Çarpımlar:
- 6 \times 10 = 60 olabilir, bu da x = 5. şekilde sağlanır çünkü:
- 6 ve 10’u çarptığınızda 60 olur. (Çarpanların kendisini yok edemeyeceğini göz önünde bulundurarak)
- Eğer x = 5 ise tüm sayılar x ile birbirlerini tamamlar hale gelebilir.
Bu mantıkla x’in, tüm sayıları silecek şekilde doğal sayı olarak 5 değerine karşılık gelmesi matematiksel olarak tutarlı bir çözümdür. Ancak, net bir çarpım sırası belirtmediğiniz için farklı denemeler gerekebilir.
Sonuç olarak, oyunun sonunda x’in doğal sayı değeri ile tüm sayılar silindiğinde, verilecek çarpım: 60 olacaktır. Bu durumda doğru yanıt A) 60tır.
Verilen soruda \sqrt{A} ve \sqrt{AB} rasyonel sayılar olduğuna göre, A ve AB tam kare olmalıdır. İki basamaklı bir sayı olduğu için AB de bir tam kare olmalıdır.
Adım Adım Çözüm:
-
A Tam Kare Olmalı:
- A'nın tam kare olabileceği değerler: 1, 4, 9
-
AB Tam Kare Olmalı:
- AB'nin iki basamaklı tam kare değerleri: 16, 25, 36, 49, 64, 81
-
Uygun Kombinasyonları Bulma:
- Eğer A = 4 seçersek, AB de 16 olabilir. Yani A = 4 ve B = 16/4 = 4.
- Eğer A = 9 seçersek, AB 36 olabilir. Yani A = 9 ve B = 36/9 = 4.
Bu durumlardan A = 9, B = 4 seçimi A+B toplamını en çok yapacak durumu verir:
- A + B = 9 + 4 = 13
Dolayısıyla, A + B toplamının en büyük değeri 13 olur ve doğru cevap B) 13.
Verilen ifadede, p bir irrasyonel sayıdır. İfadelerin irrasyonel olup olmadığını inceleyelim:
İnceleme:
-
p^2 + 1:
- p irrasyonel olduğuna göre, p^2 de irrasyoneldir. Bir irrasyonel sayıya 1 eklemek sonucunda da irrasyonel bir sayı elde edilir. Her zaman irrasyoneldir.
-
p - \sqrt{5}:
- \sqrt{5} irrasyoneldir. İki irrasyonel sayının farkı rasyonel olabilir, örneğin p = \sqrt{5} ise p - \sqrt{5} = 0. Her zaman irrasyonel değildir.
-
p + 2:
- p irrasyonel ve 2 rasyonel olduğu için, irrasyonel + rasyonel ifadesi irrasyoneldir. Her zaman irrasyoneldir.
Bu durumda, her zaman irrasyonel olan ifadeler I ve III olacaktır.
Doğru cevap: E) I ve III.
Verilen ifadede n = \frac{36}{m^2} ve n bir doğal sayı, m ise pozitif irrasyonel bir sayı. n'in doğal sayı olması için, \frac{36}{m^2} ifadesinin bir tam sayı olması gerekir.
Analiz:
- n = \frac{36}{m^2} olduğu için, m^2 36’nın böleni olmalıdır. Ancak m irrasyonel olduğundan, m^2 tam sayı olamaz.
- Bunun yerine, m^2 tam kare olmayan ve 36'nın bölünebilir yapıya sahip bir sayı olmalıdır.
m^2 İçin Seçenekler:
- m = \sqrt{2}: m^2 = 2 \rightarrow n = \frac{36}{2} = 18 (doğal sayı)
- m = \sqrt{3}: m^2 = 3 \rightarrow n = \frac{36}{3} = 12 (doğal sayı)
- m = \sqrt{6}: m^2 = 6 \rightarrow n = \frac{36}{6} = 6 (doğal sayı)
- m = \sqrt{12}: m^2 = 12 \rightarrow n = \frac{36}{12} = 3 (doğal sayı)
- m = \sqrt{18}: m^2 = 18 \rightarrow n = \frac{36}{18} = 2 (doğal sayı)
- m = \sqrt{36}: Bu durumda tam sayı olur, ama m irrasyonel olmalı.
Bu düşüncelere göre, m irrasyonel olduğu sürece bu ifadeler sağlanır ve m'nin farklı değerlere sahip olmasını, n'in farklı tam sayılar elde etmesine olanak sağlar.
Sonuç olarak, m'nin alabileceği 5 farklı değer vardır.
Doğru cevap: D) 5.
Verilen ifadelerden hangileri \frac{a}{b} biçiminde yazılamaz, yani hangileri irrasyonel sayıdır bakalım:
İfade İncelemesi:
-
4,12:
- Bu ifade, 412/100 olarak yazılabilir ve rasyonel bir sayıdır. Rasyoneldir.
-
\sqrt{\frac{\pi^2}{2}}:
- \sqrt{\pi^2} ifadesi \pi'dir, dolayısıyla \frac{\pi}{\sqrt{2}} irrasyoneldir. İrrasyoneldir.
-
3,14:
- 314/100 olarak yazılabilir ve rasyonel bir sayıdır. Rasyoneldir.
Bu durumda \frac{a}{b} biçiminde yazılamayacak ifade yalnızca II. seçenekteki ifadedir.
Doğru cevap: B) Yalnız II.