( 2^x = 3 ) olduğuna göre, ( 16^{x-1} )'in değeri kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle soruda verilen ( 2^x = 3 ) ifadesini kullanarak ( x ) ile ilgili bir denklem elde edelim. Ancak burada ( x ) kesin bir değer değil, onun üzerindeki işlemleri kullanmamız gerekiyor.
( 16 ), ( 2 ) tabanında şu şekilde yazılabilir:
16 = 2^4
Bu durumda, 16^{x-1}'i de şu şekilde yazabiliriz:
16^{x-1} = (2^4)^{x-1} = 2^{4(x-1)}
Bunu açarsak:
2^{4(x-1)} = 2^{4x - 4}
Şimdi ( 2^{4x} ) ifadesini elde edelim. ( 2^x = 3 ) olduğuna göre, her iki tarafın 4. kuvvetini alalım:
(2^x)^4 = 3^4
2^{4x} = 81
Bulduğumuz bu değeri denklemde yerine koyalım:
2^{4(x-1)} = \frac{2^{4x}}{2^4} = \frac{81}{16}
Sonuç olarak, ( 16^{x-1} = \frac{81}{16} ) olacaktır.
Cevap: A) \frac{81}{16}