a ve b birer doğal sayıdır ve a < b’dir
Buna göre;
4a + 5b=279
Denklemini sağlayan kaç farklı a değeri vardır?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)14
a ve b birer doğal sayıdır ve a < b’dir. Buna göre 4a + 5b = 279 denkleminde kaç farklı a değeri vardır?
Cevap: Bu problemi çözmek için verilen denklem 4a + 5b = 279'u kullanarak a’nın kaç farklı doğal sayı değeri alabileceğini bulmamız gerekiyor. Bunun için adım adım ilerleyelim.
1. Adım: Denklemi Yeniden Düzenleyin
Verilen denklem:
$$4a + 5b = 279$$
Amacımız, a için uygun koşullarda değerler bulmak. a ve b’nin doğal sayılar olduğu ve a < b koşulunu sağladığını unutmayalım.
2. b’yi İzole Eden Denklem
Öncelikle, b'yi tek başına bırakacak biçimde denklemi düzenleyebiliriz:
$$5b = 279 - 4a$$
$$b = \frac{279 - 4a}{5}$$
Burada, \frac{279 - 4a}{5} ifadesinin bir doğal sayı olması gerekiyor. Bu da demek oluyor ki, (279 - 4a) ifadesi 5’e tam bölünmeli.
3. Modüler Aritmetik ile İfade
279 sayısını 5’e bölersek:
$$279 \div 5 = 55 \text{ kalan } 4$$
Bu durumda, 279 \equiv 4 \pmod{5}'tir. Bu sonuçtan (279 - 4a) ifadesinin de 5’e tam bölünmesi gerektiğine göre, (4a) ifadesinin 4’e göre bir denkliği olmalı:
$$4a \equiv 4 \pmod{5}$$
4. Çözüm için a’nın Şartları
4a \equiv 4 \pmod{5} ifadesini sağlamak için, a \equiv 1 \pmod{5} koşulunu göz önünde bulundurabiliriz. Yani, a, 5’e bölündüğünde kalan 1 olacak şekilde sıralanmalı. Bu durumda, a = 1, 6, 11, 16, 21, \ldots şeklinde değerler alacaktır.
5. a < b Koşulunu Uygulamak
a < b koşulunu sağlamak için b'nin a'dan büyük olup olmadığına bakmamız gerekiyor. b'yi de doğal sayı olarak ifade etmemiz gerektiğinden, her a değeri için uygun b değerini bulmalıyız:
- b = \frac{279 - 4a}{5} doğal sayı ve b > a olmalı.
6. Uygun a Değerlerinin Bulunması
Her ortaya çıkan a değeri için b'yi kontrol edelim ve a < b koşulunu sağlayanları sayalım.
-
a = 1 \implies b = \frac{279 - 4(1)}{5} = \frac{275}{5} = 55 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 6 \implies b = \frac{279 - 4(6)}{5} = \frac{255}{5} = 51 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 11 \implies b = \frac{279 - 4(11)}{5} = \frac{235}{5} = 47 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 16 \implies b = \frac{279 - 4(16)}{5} = \frac{215}{5} = 43 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 21 \implies b = \frac{279 - 4(21)}{5} = \frac{195}{5} = 39 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 26 \implies b = \frac{279 - 4(26)}{5} = \frac{175}{5} = 35 \quad (a < b \text{ sağlanıyor})
a = 31 \implies b = \frac{279 - 4(31)}{5} = \frac{155}{5} = 31 \quad (a < b \text{ sağlamıyor, eşittir})
a = 36 \implies b = \frac{279 - 4(36)}{5} = \frac{135}{5} = 27 \quad (a < b \text{ sağlamıyor})
Etkin a değerleri için kontrol ettiğimizde, a'nın kaç farklı uygun değere sahip olduğunu hesapladık: 6 farklı değer.
Bu durumda doğru cevap C) 6 olacaktır. Bu yaklaşımı kullanarak sorunun çözümüne ulaştık.