Bu soruya bakalım.
$$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$$ ifadesinin aşağıdaki seçeneklerden hangisine eşit olduğunu bulmamız gerekiyor.
Bu tür ifadeler genellikle iki karekökün toplamı şeklinde yazılabilir: \sqrt{a} + \sqrt{b}.
İfade:
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{a b} = 7 + 2\sqrt{6}$$
Buradan:
- a + b = 7
- 2\sqrt{a b} = 2\sqrt{6}
İkinci eşitlikten \sqrt{a b} = \sqrt{6} olduğunu görüyoruz. Yani a b = 6.
Bu iki denklemden a ve b'yi bulabiliriz:
- a + b = 7
- a b = 6
Bu iki denklemi çözerek, a ve b için aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz:
$$ t^2 - 7t + 6 = 0 $$
Bu denklemi çözersek:
- (t - 6)(t - 1) = 0
Buradan t = 6 veya t = 1 çıkar. Yani a = 6 ve b = 1 (veya tam tersi).
Sonuç olarak ifademiz:
$$\sqrt{6} + \sqrt{1} = \sqrt{6} + 1$$
Bu da D şıkkına karşılık gelir.