Birbirinden farklı a, b ve c doğal sayıları için 15^a \cdot (0,4)^c \cdot 6^{-b} çarpımı bir tam sayıya eşittir. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Çözüm:
Bu verilen çarpımın bir tam sayı olabilmesi için her ifade ayrı ayrı incelenmelidir.
-
15^a: Bu ifade zaten bir tam sayı olduğu için üzerinde bir işlem yapmamıza gerek yoktur.
-
(0,4)^c: 0,4 sayısı kesirli bir sayı olduğundan, üssünün bir tam sayı yapabilmesi için c değeri dikkatli seçilmelidir. 0,4 sayısı \dfrac{2}{5} olarak yazılabilir:
(0,4)^c = \left(\dfrac{2}{5}\right)^c = \dfrac{2^c}{5^c}Eğer bir tam sayı olacaksa, 5’in üssü negatif olmalıdır. Yani bu durumda c ifadesinin yeterince büyük olması gerekir ki kesirler tam sayı olarak çıksın.
-
6^{-b}: Bu ifade zaten \dfrac{1}{6^b} olarak bir kesir belirtiyor. Çarpımın tam sayı olabilmesi için 6’nın üssünün sıfır veya negatif olması gerekir. Yani \dfrac{1}{6} ifadesindeki sayıların etkisiz olması gerekir. Bunu sağlayan negatif üs yani b ifadesinin pozitif küçük bir değer olması gerekir.
Sonuç:
- c değeri, (0,4) ifadesinin kesirini tam sayı yapacak kadar büyük olmalıdır.
- b değeri ise negatif bir üslü ifade olduğu için, büyüklüğü diğerlerinden daha küçük olacak yani pozitif fakat küçük olacaktır.
- Dolayısıyla, a değeri, 15’in üs olduğu için tam sayı içerisinde en baskın ve değişmeyen unsur olur.
Buna göre sıralama: c < b < a doğru olur.
Doğru cevap: B) c < b < a