Şekildeki soruyu inceleyelim:
Verilen şekle göre, büyük karenin kenar uzunluğu ( x ) birimdir. Buna göre karenin alanı ( x^2 ) olur.
Dört bölgenin de karenin alanına eşit olduğunu söylemiş. O halde bu dört bölgenin alanlarının toplamı ( x^2 ) olmalıdır.
- Bölge I: ( (x-y) \times (x-y) = (x-y)^2 )
- Bölge II: ( (y) \times (x-y) = y(x-y) = xy - y^2 )
- Bölge III: ( (x-y) \times (y) = y(x-y) = xy - y^2 )
- Bölge IV: ( y \times y = y^2 )
Bu dört bölgenin alanlarının toplamı:
[
(x-y)^2 + (xy - y^2) + (xy - y^2) + y^2 = x^2
]
Bu ifadeyi çözebiliriz:
[
(x-y)^2 + 2(xy - y^2) + y^2 = x^2
]
Açarsak:
[
x^2 - 2xy + y^2 + 2xy - 2y^2 + y^2 = x^2
]
Bu ifadeyi sadeleştirirsek:
[
x^2 - 2xy + 2xy - y^2 = x^2
]
Sonuç olarak doğru ifade:
[
x^2 - y^2 = x^2
]
Bu durumda doğru cevap D şıkkı: ((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2) olur.