Soru
Yanıt:
Verilen problemde, öncelikle ifadelerin sonuçlarını bulmamız gerekiyor. İlk ifade (5^{10} \cdot 2^n) on iki basamaklı bir sayı vermiş. “n” sayısı üzerinde duracağımız yer burası.
İkinci olarak, (5^{11} \cdot 2^{384}\cdot 5^{-3}) ifadesi üzerinde çalışmamız gerekiyor ve bunun sonucunda elde edilecek doğal sayıların kaç basamaklı olabileceğini bulmamız gerekiyor.
İlk olarak, (5^{10} \cdot 2^n) on iki basamaklıysa, bu demektir ki bu ifadenin hesaplanması bir milyonun (10^6) çarpanları arasında yer alıyor demektir. Dolayısıyla ifadenin boyutu yaklaşık (10^{11}) veya (10^{12}) civarında olabilir.
Şimdi ikinci ifadeyi ele alırsak:
Adım 1: İfadeyi Düzenleme
Bu da demek oluyor ki:
Adım 2: Asal Çarpanları Konumlandırma
Bu ifadelerde (5^8 \cdot 2^{384}), (2^{384-8}) çarpanı aslında oldukça büyüktür. Burada (10^{\log_{10}(5^8) + \log_{10}(2^{384})}) üzerine çalışmak gerekiyor ve bu da basamak sayısını tahmin etmek için önemli.
Adım 3: Basamak Sayısını Hesaplama
Eksponansiyel ifade olarak:
Logaritma tablolarımızı veya hesap makinamızı kullanarak, bu işlemlerin yaklaşık değerlerini hesaplayabiliriz:
- (\log_{10}5 \approx 0.69897)
- (\log_{10}2 \approx 0.30103)
Sonuç olarak:
Sonuç
Yani sonuç olarak, ifade yaklaşık olarak (10^{121.58608}) olduğundan, bu da sayının aslında yaklaşık 122 basamaklı olduğunu gösterir.
Nihai Cevap:
İkinci işlemin sonucu elde edilebilecek en büyük doğal sayı yaklaşık olarak 122 basamaklıdır.