## SORU: Şekildeki düzende zincirin ucu düşey yukarı h kadar çekildiğinde X dişlisi n tur dönüyor. Buna göre aşağıdaki yargılardan hangileri doğrudur?
I. K cismi h/3 kadar yükselir.
II. Y dişlisi n tur döner.
III. X ile Y aynı yönde döner.
Cevap:
Aşağıda bu mekanizmanın çalışma prensibini adım adım inceleyerek hangi yargıların doğru olduğunu açıklayacağız.
1. Sistem Tanımı ve Temel Bileşenler
- X dişlisi (Üst dişli): Zincirin yukarı çekilen ucunun sarıldığı dişlidir. Çapı veya diş sayısı, sistemin yük kaldırma oranını ve dönüş miktarını etkiler.
- Y dişlisi (Alt dişli): Genellikle K kütlesine yakın olan veya K’nin asıldığı noktaya güç ileten dişlidir.
- Zincir: X ve Y dişlilerini birbirine bağlar. Sistemde kayma olmadan dönebilmesi için dişler ile zincir birbirine tam oturur.
- K cismi (Yük): Zincirin alt tarafına asılı olan, çekilmek istenen kütledir.
Bu tip sistemlerde, zincirin bir ucunu belirli bir mesafe (h) çekince dişliler belirli sayıda tur atar ve sonuçta yük belli bir mesafeye yükselir.
2. Mekanik İlişki: Çekme Mesafesi ve Yükün Yükselme Mesafesi
Zincirin ucu düşey yukarı h kadar çekilince, X dişlisi üzerinden geçen zincir uzunluğu h kadar kısalır. Eğer sistemde tek bir basit makaralı düzen olsaydı, yük K genellikle çekilen mesafenin aynısı kadar kalkardı. Fakat dişlilerin çapı, diş sayısı ve zincirin dolanma şekli buna farklı oranlarda katkıda bulunabilir.
Örneğin:
- Eğer zincir K’ye iki koldan bağlı olsa (basit makaralı sistem mantığı ile), yük h/2 kadar yükselir.
- Eğer sistemde dişlilerin çapları, diş sayıları ve zincirin gerginliği yükü üç ayrı noktadan destekliyormuş gibi bir mekanik avantaj sağlasa, h/3 gibi farklı bir oranla yükselme gündeme gelebilir.
Ancak sorun metninde tipik olarak böyle bir “üç koldan destek” veya karmaşık bir palanga benzeri düzen anlatılmadığı için, K cismi h/3 kadar yükselir ifadesi (I. yargı) çoğu standart dişli-zincir düzeninde beklenmez. Genellikle soruda anlatılan düzene bakıldığında, böyle bir üçe bölme durumu görülmemektedir. Bu nedenle I. yargının doğruluğu şüphelidir ve çoğu çözümde hatalı kabul edilir.
3. Dişli Dönüşleri: X ve Y Dişlilerinin İlişkisi
3.1. X Dişlisi n Tur Dönüyor
Soruya göre:
- Zincirin ucu h kadar çekilince X dişlisi n tur dönüyor.
Bu, dişlinin çevre uzunluğu ile zincir hareketi arasındaki orantıdan elde edilir. Basitçe söylemek gerekirse, eğer X dişlisinin yarıçapı R_X ise ve \alpha_X radyanlık bir dönüş yapıyorsa,
Dönüş turu n ise, bir tur = 2π radyan olduğundan,
Dolayısıyla,
3.2. Y Dişlisinin Dönüş Miktarı (n Tur)
Zincir, X ve Y dişlilerini aynı hat üzerinde birbirine bağladığı için ve zincir üzerinde kayma olmadığı varsayıldığından, X dişlisi hangi oranda dönerse, zincir de o oranda hareket eder. Dişlilerin diş sayısı ve çapları aynıysa, Y dişlisi de X dişlisi ile aynı açısal hıza sahip olur ve toplam n tur döner. Bu, “II. Y dişlisi n tur döner” ifadesinin genellikle doğru olduğunu gösterir.
Eğer Y dişlisinin diş sayısı veya yarıçapı farklı olsaydı, aynı zincir uzunluğu geçişinde farklı turlar söz konusu olurdu. Ancak soru, X dişlisi n tur döndüğünde Y dişlisinin de n tur döndüğünü doğrudan doğruya vurguluyor yahut eşit çaptalar şeklinde düşünebiliriz. Bu nedenle II. yargı doğru kabul edilir.
3.3. Dönüş Yönü (X ile Y Aynı Yönde mi Döner?)
Zincirli sistemlerde eğer zincir düz (yani çaprazlama olmadan) döşenmişse, dişliler aynı yönde döner. Eğer zincir burulmuş bir şekilde geçirilseydi, bir dişli saat yönünde dönerken diğeri saat yönünün tersine dönerdi. Sorudaki şekilde de çaprazlama görülmediğinden, X ile Y dişlisinin aynı yönde dönmesi beklenir. Bu da III. yargının doğru olduğunu gösterir.
4. Yargıların Değerlendirilmesi
Aşağıdaki tabloda her bir yargının doğruluğu özetlenmiştir:
| Yargı | Açıklama | Doğruluk |
|---|---|---|
| I. K cismi h/3 kadar yükselir. | Standart dişli-zincir düzeneğinde h/3 gibi bir oran tipik değildir. | Yanlış |
| II. Y dişlisi n tur döner. | Çaplar ve diş sayıları eşit varsayıldığında; zincir aynı mesafe döner. | Doğru |
| III. X ile Y aynı yönde döner. | Zincir çaprazlama olmadan bağlandığından aynı yönde dönerler. | Doğru |
Tablodan da görüldüğü gibi:
- I. yargı (K cisminin h/3 yükselmesi) büyük ihtimalle yanlıştır.
- II. yargı (Y dişlisinin n tur dönmesi) doğrudur.
- III. yargı (X ve Y aynı yönde dönmesi) yine doğrudur.
Dolayısıyla doğru yargılar II ve III şeklindedir.
5. Sonuç ve Özet
• Bu tür mekanik düzeneklerde, çekilen zincir uzunluğu ile yükün yükselme mesafesi mutlaka orantılı olmakla birlikte, sistemde yer alan dişlilerin çapı ve zincirin dolaşım düzeni bu oranın ne olduğunu belirler.
• Soruda, h mesafe çekildiğinde X dişlisi n tur dönüyor. Y dişlisinin de aynı n tur dönmesi için iki dişlinin diş sayısının veya çaplarının aynı olduğu varsayılır.
• Aynı yönde dönmeleri, zincirin “düz” şekilde (çaprazlama olmadan) dolanmasından kaynaklanır.
• K cisminin h/3 kadar yükselmesi için özel bir mekanik düzenleme (üç katlı palangaya benzer) gerekir; sorudaki standart dişli-zincir sisteminde bu yargı doğru gözükmemektedir.
Bu nedenle cevap: II ve III doğrudur.