Özdeş X ve Y cisimleri sürtünmelerin ve makara ağırlıklarının önemsenmediği düzenekte şekildeki gibi dengededir. Buna göre I, II, III yargılarından hangileri doğrudur?
Answer:
Bu soruda, özdeş (kütleleri aynı) X ve Y cisimleri, ihmal edilebilecek sürtünme ve makara ağırlığı koşulları altında dengededir. Şekilden anlaşıldığı üzere, cisimler bir ip ve makara düzeneği ile tavana asılmıştır. Denge halinde olduklarına göre, ipteki gerilme kuvveti (tansiyon) ve cisimlerin ağırlıkları ile geometrik konumları arasındaki ilişkiyi incelememiz gerekir. Verilen yargılar şunlardır:
- İpteki gerilme kuvveti X cisminin ağırlığına eşittir.
- Y, bir miktar aşağı çekilirse X’in yer değiştirmesi Y’ninkinden büyük olur.
- X, bir miktar aşağı çekilip bırakılırsa yukarı yönde hareket eder.
Bu yargıları tek tek analiz edelim.
1. Yargı Analizi: “İpteki gerilme kuvveti X cisminin ağırlığına eşittir.”
Denge halinde duran bir cisim için genel olarak düşey doğrultudaki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Ancak ipin yapısı, makaranın konumu ve ip açısı gerilme kuvvetinin büyüklüğünü doğrudan etkiler. Eğer X cismi ipte asılı duruyorsa ve ip X’e belirli bir açıyla bağlıysa, ipteki gerilme kuvveti T ile cisim ağırlığı mg arasında şu ilişki olabilir:
- Dikey bileşen: T \cdot \sin\theta = mg (veya benzer bir trigonemetrik ifade, şeklin ayrıntılarına bağlı).
- Dolayısıyla, T genellikle $mg$’ye tam olarak eşit olmayabilir; çoğu durumda T \ge mg olur (özellikle asimetrik veya açılı sistemlerde).
Soruda sistem “şekildeki gibi dengede” ifadesiyle verildiğinden, ipler eğik bir açı yapmış olabilir. Bu sebeple “T = mg” ifadesi her zaman doğru olmayabilir. Genellikle bu tip makara sorularında, ipin gerilme kuvveti cisme doğrudan dik (düşey) asılmıyorsa T değeri ağırlıktan farklı çıkar. Böyle bir düzeneğin simetrik veya asimetrik oluşu gerilmeyi değiştirir. Dolayısıyla I. yargı çoğunlukla yanlış kabul edilir.
2. Yargı Analizi: “Y, bir miktar aşağı çekilirse X’in yer değiştirmesi Y’ninkinden büyük olur.”
Makara sistemlerinde, ip uzunluğu sabittir. Bir tarafı çektiğimizde ipin diğer tarafındaki cisim farklı oranlarda konum değiştirebilir. Özellikle tek bir ip üzerinde iki cisim asılıyken, bir cismi belirli bir miktar aşağı çektiğimizde diğer cismin yer değiştirmesi ipin hareket yollarına ve makaraya göre değişir. Pek çok standard makara düzeninde, bir tarafta olan küçük bir çekme diğer tarafta daha büyük bir hareket yaratır. Bunun en temel sebebi ipin farklı kollarındaki hareket mesafelerinin orantısıdır.
Şekilde benzer bir düzenek varsaydığımızda, Y’yi aşağı çektiğinizde mekanik olarak X tarafında belli bir açı değişimi olabilir ve ipin X’e bağlı kısmı daha uzun bir mesafe çekileceğinden, X cisminin dikey yer değiştirmesi Y’ninkinden büyük olabilir. Bu tür sistemler “palanga” yapısına benzer davranıyor olabilir. Bundan dolayı II. yargı genellikle doğrudur.
3. Yargı Analizi: “X, bir miktar aşağı çekilip bırakılırsa yukarı yönde hareket eder.”
Bu ifadenin arkasında yatan fiziksel neden, sistemin dengede olmasıdır. Denge noktasından X cismini biraz aşağı çektiğinizde, X konumu denge konumunun altındayken ipteki gerilme kuvvetinin dikey bileşeni ağırlığından daha büyük hale gelebilir veya sistem böyle bir konum değişikliğine doğal olarak zıt bir tepki kuvveti gösterebilir. Bu da cismi tekrar denge konumuna döndürecek şekilde “yukarı” yönlü bir net kuvvet oluşturur. Dolayısıyla, sistemi hafifçe bozup bırakırsanız cisim denge konumuna geri dönmek isteyeceğinden yukarı doğru hareket eder (hem de muhtemelen bir salınım yapabilir).
Bu mantıkla bakıldığında, III. yargı doğru kabul edilir; hafif bir dış etki ile konumundan saptırılan X, bırakılınca tekrar denge konumuna dönme eğilimindedir ve ilk hareketi yukarı yönlü olur.
Sonuç ve Yargıların Durumu
Yaptığımız analizler doğrultusunda:
- I. yargı: Genelde yanlış (T = mg ifadesi, özellikle açı söz konusu olduğunda doğru değildir).
- II. yargı: Doğru.
- III. yargı: Doğru.
Dolayısıyla II ve III. yargılar doğrudur.
Aşağıdaki tabloda bu kararı özetleyebiliriz:
| Yargı | Değerlendirme |
|---|---|
| I. İpteki gerilme kuvveti X cisminin ağırlığına eşittir. | Yanlış |
| II. Y aşağı çekilirse X’in yer değiştirmesi Y’ninkinden büyüktür. | Doğru |
| III. X, aşağı çekilip bırakılırsa yukarı doğru hareket eder. | Doğru |
Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Makara sistemlerinde gerilme kuvveti: İdeal kabul edilen makarada ipin her iki tarafındaki gerilme kuvveti aynıdır. Ancak bu gerilmenin değeri, yükü taşıyan ve belli bir açı yapan ip kollarına bağlı olarak değişebilir.
- Denge koşulları: Denge hâlinde bir cisme etki eden net kuvvet sıfırdır. X ve Y özdeş kütleli olduğundan, sistem başlangıçta simetrik veya neredeyse simetrik konumdadır.
- Yer değiştirme oranı: Tek bir ip kullanıldığı için toplam ip uzunluğu sabittir. Bir ucu çekilen ipin diğer ucunda, bazen iki kat, bazen farklı bir oranda yer değiştirme meydana gelebilir. Bu da cisimlerden birinin yer değiştirme miktarını arttırır.
- Küçük burkulma/bükülme hareketi: Denge noktasına getirme eğilimi basit harmonik hareketin veya basit titreşimin tipik bir sonucudur. Makara ve ip ideal kabul edildiğinde sürtünme ihmal edilir, cisim denge noktasından uzaklaştırıldığında tekrar geri çekilme kuvveti hisseder.
Bu bilgiler ışığında net olarak görüyoruz ki sorudaki doğru yargılar II ve III şeklindedir.