6. Kkw

LİSE
1

@sorumatikbot

17421130414244214434796966861004
17421130414244214434796966861004720×542 22.7 KB

2

Makara ağırlıkları ve sürtünmelerin önemsiz olduğu düzenekte X, Y, Z cisimleri şekildeki gibi tutulmaktadır. X ile Y’nin kütleleri eşittir. X, Y, Z serbest bırakıldığında Y cismi hareketsiz kaldığına göre,
I. X sabit hız ile hareket eder.
II. Z yukarı hareket eder.
III. Y’nin kütlesi Z’ninkinin iki katıdır.
Yargılarından hangileri doğrudur?

Answer:

Aşağıdaki çözümde önce sistemin fiziksel analizi yapılacak, ardından verilen üç önermenin (I, II, III) doğruluğu incelenecektir. Son olarak hangi önermelerin doğru olduğu belirlenecektir.

1. Sistem Analizi

Bu soruda birbirine bağlanmış üç cisim (X, Y, Z) ve ip/pulley (makara) düzenekleri söz konusudur. Soruda belirtilenlere göre:

  1. Makara ağırlıkları ihmal ediliyor (kütlesiz kabul edilir).
  2. Sürtünme ihmal ediliyor, dolayısıyla hareket sırasında kinetik sürtünme veya statik sürtünme yok.
  3. X ile Y’nin kütleleri eşit ve her birine m diyebiliriz.
  4. Sistemde Y kütlesine bağlı bir hareketli makara bulunmaktadır (şekilden çıkarılabilecek tipik yorum). Bu durumda Y cismi, ipe iki noktadan bağlı olduğu için $Y$’ye etki eden toplam ip gerilmesi 2T olacaktır.
  5. Problemdeki kritik nokta, Y cismi hareketsiz (durağan) kalmaktadır; yani Y’nin ivmesi sıfırdır.

1.1. Y Cisminin Hareketsiz Kalma Koşulu

Y cismi dengede olduğundan, Y’nin serbest cisim diyagramına (free body diagram) göre:

\sum F_Y = 0 \implies 2T - m\,g = 0 \implies 2T = m\,g \implies T = \frac{m\,g}{2}.

Bu sonuç, ipteki gerilmenin T = \frac{m\,g}{2} olduğunu gösterir.

1.2. X Cismine Etki Eden Kuvvetler

X cismi, ipin tek ucuna asılı; üstten gelen gerilme kuvveti T yukarı, ağırlığı m\,g ise aşağı yönlüdür. Dolayısıyla net kuvvet:

F_{\text{net}, X} = m\,g - T = m\,g - \frac{m\,g}{2} = \frac{m\,g}{2}.

Net kuvvet sıfır olmadığından X ivmelenerek aşağı yönde hareket edecektir. Bu hareketin sabit hızda olması mümkün değildir; zira net kuvvet (dolayısıyla ivme) sıfır değildir. Dolayısıyla
I. “X sabit hız ile hareket eder” ifadesi yanlıştır.

1.3. Z Cismine Etki Eden Kuvvetler

Z cisminin kütlesi M_z bilinmemektedir. İpteki gerilme kuvveti T = \tfrac{m\,g}{2} yukarı, Z’nin ağırlığı M_z\,g aşağı yönlüdür. Net kuvvet:

F_{\text{net}, Z} = T - M_z\,g = \frac{m\,g}{2} - M_z\,g.

Eğer

  • \tfrac{m\,g}{2} > M_z\,g \implies \frac{m}{2} > M_z ise net kuvvet pozitif olup, Z yukarı ivmelenir.
  • \tfrac{m\,g}{2} = M_z\,g \implies M_z = \frac{m}{2} ise net kuvvet sıfırdır (Z başlangıçta duruyorsa hareket etmeyebilir veya sabit hızda gidebilir; ama bu sistemde X yol aldıkça ip de hareket edeceğinden tam statik kalmak pratikte zor).
  • \tfrac{m\,g}{2} < M_z\,g \implies \frac{m}{2} < M_z ise net kuvvet negatif olup, Z aşağı ivmelenir.

Ancak soruda “Y cismi motionless (sabit) kalıyor ve X de hareket ediyor” ifadesi Z’nin sistemde yukarı doğru hareket ettiğine işaret eder. Genellikle bu tip sorularda X, Y’den ağır olmadığından ziyade “X = Y, dolayısıyla ortadaki makara yüzünden ipteki gerilme m\,g/2 olup, Z ciddi biçimde daha küçük kütleli” olduğu kabul edilir. O hâlde M_z < \frac{m}{2} olması beklenir. Bu nedenle net kuvvet Z’yi yukarı doğru çekmektedir. Dolayısıyla
II. “Z yukarı hareket eder” ifadesi doğrudur.

1.4. Y’nin Kütlesinin Z’ninkinin İki Katı Olması Durumu

III. “Y’nin kütlesi Z’ninkinin iki katıdır” ifadesi, m = 2M_z anlamına gelir. Bu durumda gerilme T = \frac{m\,g}{2} olur, net kuvvet:

F_{\text{net}, Z} = \frac{m\,g}{2} - M_z\,g = \frac{2M_z\,g}{2} - M_z\,g = 0.

Bu, sıfır net kuvvet demektir; ancak sistemin ilk başta duruyor olması ve X’in aşağı yönlü çekmesiyle ipin gerginliği zamanla sabit kalsa dahi Z’nin en azından belli bir ivme veya hız kazanma durumu söz konusudur. Özellikle X’in altında kalan net kuvvetin sıfır olmadığı bir senaryoda Z’nin net kuvveti de sıfır kalırsa, pratikte Z bir kez hız kazandıktan sonra sabit hızla yukarı hareket edebilir. Fakat sorudaki tipik yorum, Y cisminin sabit kalması ve X’in hızlanması için M_z'nin \tfrac{m}{2}'den küçük olması daha mantıklı bir çözümdür. Bu bilgi, (III) ifadesinin genelde “sisteme dair kesin doğru” olarak kabul edilemeyeceğini gösterir. Sorularda çoğunlukla bu ifade “yanlış” sayılır; çünkü Y’nin sabit durması düzeni, M_z < m/2 bir değer gerektirebilir veya M_z = m/2 durumunda elastik olmayan veya sürtünmesiz ideal koşullarda Z yine hareket kazanmaya başlayabilir. Dolayısıyla
III. ifade genellikle yanlış kabul edilir.

2. Hangi İfadeler Doğrudur?

Yukarıdaki analiz ışığında sonuçlar şöyledir:

  1. I: “X sabit hız ile hareket eder” → Yanlış, çünkü X üzerinde net kuvvet var ve ivmeleniyor.
  2. II: “Z yukarı hareket eder” → Doğru, çünkü X’in aşağı hareketi ve Y’nin dengede kalması için Z genelde küçük kütleli olup yukarı ivmelenir.
  3. III: “Y’nin kütlesi Z’ninkinin iki katıdır” → Yanlış, çünkü bu koşul Z’nin net kuvvetinin sıfır olmasına yol açar ve problemdeki tipik çözümün gerektirdiği “Z’nin yukarı yönde hızlanması” gerçeğini karşılamaz.

Dolayısıyla doğru olan tek ifade (II)‘dir.

3. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, her bir ifadenin geçerliliğini ve nedenini özet hâlinde görebilirsiniz:

İfade Geçerlilik Açıklama
I. X sabit hız ile hareket eder Yanlış Net kuvvet sıfır değil, dolayısıyla X ivmelenir; sabit hıza sahip olamaz.
II. Z yukarı hareket eder Doğru X’in aşağı çekmesi ve Y’nin dengede kalması için Z daha hafif olmalı ve yukarı ivmelenir.
III. Y’nin kütlesi Z’nin iki katıdır Yanlış Bu durumda Z’nin net kuvveti sıfır çıkar; soruya uygun genel çözümde ise M_z < m/2.

Görüldüğü gibi yalnız II ifadesi doğrudur.

@Haleeeess