5 kişinin katıldığı bir bilgi yarışmasının yalnız bir tane birincisinin olması koşuluyla yarışmanın kaç farklı şekilde sonuçlanabileceğini bulunuz.
Cevap:
Bir bilgi yarışmasında 5 kişi yarışıyor ve bu yarışmanın sonuçlanabilmesi için sadece bir kişinin birinci olması gerekiyor. Bu durumda, diğer kişilerin sıralamaları da belirlenmiş olacak.
Çözüm Adımları:
-
Birinciyi Seçme:
-
Birinci olacak kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz. Bu, 5 farklı kişi arasından 1 kişi seçmek demektir.
\binom{5}{1} = 5
-
-
Kalan 4 Kişiyi Sıralamak:
-
Geriye kalan 4 kişi, 2., 3., 4. ve 5. sıralara yerleştirilecektir. Bu, 4 kişinin sıralanma sayısı kadar farklı şekilde sonuçlanabilir.
-
4 kişinin sıralanma sayısı, 4! (faktöriyel) ile bulunur.
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
-
-
Toplam Farklı Sonuç Sayısını Bulmak:
-
İlk sırayı almak için 5 kişi arasından seçim yapıldıktan sonra, geriye kalan 4 kişiyi sıralamak için 24 farklı yöntem vardır. Dolayısıyla, yarışmanın toplam farklı sonuçlanma şekli:
5 \times 24 = 120
-
Sonuç olarak, 5 kişinin katıldığı bir bilgi yarışması yalnız bir tane birincinin olması koşuluyla 120 farklı şekilde sonuçlanabilir.
Cevapp anahtarında 375 görünüyor cevap. Yanlış bulmuşsunuz
Görünüşe göre önceki açıklamamda bir hata oldu. Doğru cevaba ulaşmak için, farklı bir yaklaşımla problemi gözden geçirelim.
Yarışmanın Kaç Farklı Şekilde Sonuçlanabileceğini Bulmak:
-
Birinciyi Seçme:
-
Birinci olan kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz. Bu, 5 farklı kişi arasından 1 kişi seçmek demektir.
\binom{5}{1} = 5
-
-
Geri Kalanları İkincilik, Üçüncülük ve Diğer Sıralara Yerleştirmek:
-
İkinci olacak kişiyi 4 kişi arasından seçebiliriz, üçüncü olacak kişiyi 3 kişi arasından ve bu böyle devam eder.
4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
-
-
Toplam Farklı Sonuç Sayısını Bulmak:
-
İlk sırayı almak için 5 kişi arasından seçim yapıldıktan sonra, geriye kalanları sıralamak için ise 24 farklı yöntem vardır.
5 \times 24 = 120
-
Eğer cevap anahtarında 375 olarak belirtilmişse, belki soru farklı bir koşul içeriyor olabilir veya farklı bir hesaplama yöntemi kullanılmış olabilir. Lütfen sorunun diğer detaylarını veya farklı bir koşulu olup olmadığını kontrol etme imkanınız varsa inceleyin.
5 kişinin katıldığı bir bilgi yarışmasının yalnız bir tane birincisinin olmadı koşuluyla yarışmanın kaç farklı şekilde sonuçlanabilecegini bulunuz. Diyor. 1 birinci olacak yani 2 tane 3. Ya da 4 tane 2. Vs olabilir gibisinden. Cevapta 375 diyo
Anladım, o zaman bu durumu tekrar gözden geçirelim. Yarışmanın yalnız bir tane birincisi olmaması durumları üzerinden ilerleyelim:
Çözüm Adımları:
Bu soruda amaç, yarışmanın yalnız bir tane birincisinin olmadığı durumları bulmaktır. Bu durumda, farklı pozisyonlardaki eşitlikleri hesaba katmamız gerekiyor.
-
2 kişi birinci olabilir:
-
Birinci olacak iki kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz, geriye kalan 3 kişi farklı sıralanır.
\binom{5}{2} = 10 -
3 kişi kalan sıraları doldurur:
3! = 6 -
Bu durumda toplam:
10 \times 6 = 60
-
-
3 kişi birinci olabilir:
-
Birinci olacak üç kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz, geriye kalan 2 kişi sıralanır.
\binom{5}{3} = 10 -
2 kişi kalan sıraları doldurur:
2! = 2 -
Bu durumda toplam:
10 \times 2 = 20
-
-
4 kişi birincisi olabilir:
-
Birinci olacak dört kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz, geriye kalan 1 kişi tek başına belirlenir.
\binom{5}{4} = 5 -
Bu durumda toplam:
5 \times 1 = 5
-
-
5 Kişinin Hepsi Birinci Olabilir:
-
Tüm kişiler eşit birinci olursa, bir seçim yapmaya gerek yoktur.
1 \text{ durum}
-
Toplam Durum Sayısı:
Toplamda bu koşullar altında yarışmanın kaç farklı şekilde sonuçlanabileceğini hesaplarsak:
60 + 20 + 5 + 1 = 86
Görünüşe göre, cevap anahtarıyla uyuşmuyor. Cevap anahtarındaki 375 ifadesi, problemde başka bir koşul veya farklı bir yorumlama gerektiriyor olabilir. Eğer ek kriterler veya farklı durumlar yanlış anlaşılmadıysa, yukarıdaki hesaplama bu açıklamaya göre doğrudur.
Sorunun cevabı bu mu oluyor tam olarak şimdi
Özür dilerim, yanlış değerlendirdim. Sadece eşit dereceli sonuçları düşünerek çözümü tekrar ele alalım:
Çözüm Adımları:
5 kişinin katıldığı yarışmada yalnız bir tane birincisi olmayan durumları bulmamız gerekiyor. Bu, en az iki kişinin birinci olması durumlarını içerir:
-
2 kişi birinci olabilir:
-
Birinci olacak iki kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz ve geri kalan 3 kişi sıralanır.
\binom{5}{2} = 10 -
3 kişinin sonuçlanma şekli: (1 kişi ikinci, 2 kişi 3.)
Burada kalan kişilerin nasıl sıralanabileceğine dikkat edelim.
-
Farklı eşit sıraları oluşturmak:
- 1 kişi ikinci olur, 2 kişi üçüncü olur
- İkinciyi seçmek: \binom{3}{1} = 3
Her bir senaryo için eşit sonuçların çarpımı:
3 -
10 kombinasyon türünden her biri için:
10 \times 3 = 30
-
-
3 kişi birinci olabilir:
-
Birinci olacak üç kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz ve geri kalan 2 kişi sıralanır.
\binom{5}{3} = 10 -
2 kişinin sonuçlanma şekli: (1 kişi ikinci, 1 kişi üçüncü)
-
Farklı eşit sıraları oluşturmak:
2! = 2 -
10 kombinasyon türünden her biri için:
10 \times 2 = 20
-
-
4 kişi birinci olabilir:
-
Birinci olacak dört kişiyi 5 kişi arasından seçebiliriz ve geriye kalan 1 kişi üçüncü olur.
\binom{5}{4} = 5 -
Tek bir durum olduğu için:
5 \times 1 = 5
-
-
5 kişi birinci olabilir:
-
Herkes eşit birinci olursa:
1 \text{ durum}
-
Toplam Durum Sayısı:
Toplamda:
30 + 20 + 5 + 1 = 56
Yine cevapla uyuşmuyor. Eğer ek bilgi verilmediyse, çözüm bu şekilde kalıyor. 375 başka bir yorum veya koşul içeriyor olabilir.
5!, 4! Bölü 4! , 4! Bölü 4!.. 3! Bölü 3!..
Gibisinden bir yol deneyebilir miyiz
Anladım, bu durumda sıralama kombinasyonları üzerinde duralım:
Bilgi yarışmasında sadece bir birincinin olduğu durumları inceleyelim. 5 kişi var ve sadece bir kişi birinci olacak, diğerleri farklı pozisyonlarda yer alacak.
-
Tüm kişilerin sıralanışı:
-
5 kişi, 5 pozisyonu dolduracak. Tüm kişilerin farklı sıralanışları:
5! = 120
-
-
Eşit sonuçlar hariç:
Yukarıda her kişinin farklı bir sıralaması olduğunu hesapladık. İlk verilen çözümde, yalnızca bir kişinin birinci olduğu senaryoları planladık. Bu durumlarda, kişi 5 kişi arasından bir pozisyonu seçebilir ve diğerleri farklı pozisyonlarda yer alacaktır.
-
Farklı kombinasyonlar:
Her bir pozisyonun farklı olması gerektiği için tüm sıralar tek bir birinciye sahip olacak şekilde olacak. Yukarıdaki kalıplar yanlış yalnızca toplam sıralamalar ile örtüşüyor geçmiş olabilir. Eğer ek bilgiler sağlanmadıysa ve verilenler yanlış anlamandıysa, formülasyonlar hesaplandığı şekildeki gibi kalır. Ancak spesifik bir sayıya değil, genel durumların tümüne yöneldik. Bu yanlışlık rol dahil edilmeden bu şekilde kalacaktır.
375 sayısı, muhtemelen ek notasyonlar içeriyordur. Mevcut adımlardan hariç yöntemlerde kullanılmadıysa karşılanmamış olabilir.
Cevapp nee yani
Özür dilerim, açıklık getireyim.
5 kişinin katıldığı bir bilgi yarışmasının yalnız bir tane birincisinin olması koşuluyla yarışmanın kaç farklı şekilde sonuçlanabileceğini bulunuz.
Yanıt:
Bir yarışmada 5 kişinin katıldığını düşünelim ve yalnızca 1 kişinin birinci olmasını istediğimizden, bu birincinin seçileceği durumları hesaplayacağız.
-
Birinci Seçimi:
-
Bir kişi birinci olacak ve 5 kişiden 1 kişi seçilecektir.
\binom{5}{1} = 5
-
-
Kalan Kişilerin Sıralanışı:
-
Geri kalan 4 kişi ise, 2., 3., 4. ve 5. olacak şekilde sıralanacaktır.
4! = 24
-
-
Tüm Kombinasyonlar:
-
Bu kombinasyonları çarparak toplam farklı sıralama sayısını bulabiliriz.
5 \times 24 = 120
-
Böylece yarışmanın toplamda 120 farklı şekilde sonuçlanabileceğini buluruz. Her durumda, yalnız bir tane birinci olacaktır ve diğer kişiler farklı sıralarda yer alacaktır.
120? Degiildi hani
Özür dilerim, kafa karışıklığı oldu. Evet, doğru yanıt 120 çünkü sıralama ile ilgileniyoruz ve tek bir birincinin olduğu tüm kombinasyonları değerlendirdik.
Neden 120?
- Birinci olacak kişiyi seçmek için: 5 farklı kişi var. Bu, 5 farklı yol demektir.
- Diğer kişilerin sıralanışı: Geri kalan 4 kişi, 2., 3., 4. ve 5. sırayı alabilir. Bu, 4! = 24 farklı yol demektir.
Birleştirince:
5 \times 24 = 120
Bu nedenle toplam 120 farklı sonuç elde edilebilir. Hatamı anladığınız sürece teşekkür ederim.