30 devir/dk açısal hıza sahip bir tekerlek sabit açısal ivme ile hızlanarak 8 s sonra 90 devir/dk açısal hıza ulaşıyor. Buna göre tekerlek bu süre içerisinde kaç devir yapar?
Cevap:
Bu soru bir açısal kinematik problemi içerir ve açısal hız, açısal ivme ve toplam dönme açısını bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Verilenleri Tanımlama
- İlk açısal hız (\omega_0): 30 devir/dk
- Son açısal hız (\omega): 90 devir/dk
- Zaman (t): 8 s
Öncelikle, açısal hızları rad/s cinsine çevirmemiz lazım çünkü uluslararası standart birimleri (SI) kullanmalıyız:
1 devir = 2\pi radyan olduğuna göre, devir/dk cinsinden bir hızı rad/s cinsine çevirmek için 2\pi/60 ile çarpmalıyız:
\omega_0 = 30 \times \frac{2\pi}{60} = \pi \, \text{rad/s}
\omega = 90 \times \frac{2\pi}{60} = 3\pi \, \text{rad/s}
Adım 2: Açısal İvmenin Hesaplanması
Açısal ivmeyi (\alpha) hesaplamak için açısal hız değişiminden ve geçen zamandan yararlanabiliriz:
\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{3\pi - \pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \, \text{rad/s²}
Adım 3: Toplam Dönme Açısının Hesaplanması
Tekerleğin toplam kaç devir yaptığını bulmak için, dönme sırasında kat edilen toplam açıyı (\theta) bulmalıyız:
\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2
Burada değerleri yerine koyarak:
\theta = (\pi)(8) + \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right)(8)^2
\theta = 8\pi + \frac{1}{2} \frac{\pi}{4} \times 64
\theta = 8\pi + \frac{1}{2} \left(\frac{64\pi}{4}\right)
\theta = 8\pi + 8\pi = 16\pi \, \text{radyan}
Son olarak, bu açıyı devir cinsine çevirelim:
\text{Toplam devir sayısı} = \frac{16\pi}{2\pi} = 8 \, \text{devir}
Sonuç:
Tekerlek 8 saniye içerisinde toplamda 8 devir yapar.