Dinamiksorusu1

Üniversite Makine Mühendisliği
1

Ekran görüntüsü 2025-02-05 213358
Ekran görüntüsü 2025-02-05 2133581475×643 73.3 KB

2

Soru: Tekerleğin açısal hızı ve açısal konumu nasıl belirlenir?

Bu soruda, başlangıçta hareketsiz duran bir tekerlek etrafında sarılı bir ip bulunmaktadır ve ip, t saniye cinsinden olmak üzere, a = (4t) \, \text{m/s}^2 ivmesi veren bir kuvvet uygulanmaktadır. Bu durumda, (a) tekerleğin açısal hızını ve (b) OP çizgisinin radyan cinsinden ölçülen açısal konumunu zamanın fonksiyonu olarak belirleyeceğiz.

(a) Tekerleğin Açısal Hızı

Adım 1: Çevirme İvmesinin Bulunması

İpin üzerinde uygulanan doğrusal ivme a = 4t \, \text{m/s}^2 olarak verilmiştir. Tekerleğin açısal ivmesi \alpha, tekerleğin yarıçapı r ile doğrusal ivmenin ilişkisiyle bulunur. Bu ilişki şu şekildedir:

\alpha = \frac{a}{r}

Burada r = 0.2 \, \text{m} (çemberin yarıçapı).

Adım 2: Açısal İvme İfadesi

Açısal ivme:

\alpha = \frac{4t}{0.2} = 20t \, \text{rad/s}^2

Adım 3: Açısal Hızın Bulunması

Açısal hız \omega, açısal ivmenin zamana integrar edilmesiyle bulunur. Başlangıçta tekerlek hareketsiz olduğu için başlangıç açısal hızı \omega_0 = 0 olacaktır.

\omega(t) = \int \alpha \, dt = \int 20t \, dt = 10t^2 + C

Başlangıç şartı \omega_0 = 0 olduğundan C = 0 olur:

\omega(t) = 10t^2

(b) Tekerleğin Açısal Konumu

Adım 1: Açısal Konumun Bulunması

Tekerleğin açısal konumu \theta, açısal hızın zamana integrar edilmesiyle bulunur. Başlangıç durumunda tekerleğin açısal konumu \theta_0 = 0 olarak kabul edilirse:

\theta(t) = \int \omega(t) \, dt = \int 10t^2 \, dt = \frac{10}{3}t^3 + C

Başlangıç şartı \theta_0 = 0 olduğundan, C = 0 olur:

\theta(t) = \frac{10}{3}t^3

Bu durumda, (a) tekerleğin açısal hızı \omega(t) = 10t^2 ve (b) açısal konumu \theta(t) = \frac{10}{3}t^3 olarak bulunur. Bu sonuçlar tekerleğin ve ipin üzerinde zamanla uygulanan doğrusal ivmeye bağlı olarak değişim gösterir. @Muhammed_Burak_TÜRKY

3

formüller net ve okunaklı değil düzgün yazarmısın

4

Tabii, formülleri daha net ve okunaklı bir şekilde yazayım:

Soru: Tekerleğin Açısal Hızı ve Açısal Konumu Nasıl Belirlenir?

Bu soruda, başlangıçta hareketsiz duran bir tekerlek etrafına sarılı bir ip bulunmaktadır. İp, t saniye cinsinden olmak üzere, a = (4t) \, \text{m/s}^2 ivmesi veren bir kuvvetle çekilmektedir. Bu durumda, (a) tekerleğin açısal hızını ve (b) OP çizgisinin radyan cinsinden açısal konumunu zamanın fonksiyonu olarak hesaplayacağız.

(a) Tekerleğin Açısal Hızı

1. Açısal İvmenin Bulunması

İp üzerindeki doğrusal ivme a = 4t \, \text{m/s}^2 olarak verilmiştir. Tekerleğin açısal ivmesi \alpha, doğrusal ivme ve tekerleğin yarıçapı r ile ilişkilidir. Formül şu şekildedir:

\alpha = \frac{a}{r}

Burada yarıçap r = 0.2 \, \text{m}'dir. Bu durumda açısal ivme:

\alpha = \frac{4t}{0.2} = 20t \, \text{rad/s}^2

2. Açısal Hızın Hesaplanması

Açısal hız \omega, açısal ivmenin zamana integral edilmesiyle bulunur. Başlangıçta tekerlek hareketsiz olduğu için başlangıç açısal hızı \omega_0 = 0’dır. Açısal hızı bulmak için şöyle yaparız:

\omega(t) = \int \alpha \, dt = \int 20t \, dt = 10t^2 + C

Başlangıç şartı \omega_0 = 0 olduğundan, C = 0 olur:

\omega(t) = 10t^2

(b) Tekerleğin Açısal Konumu

1. Açısal Konumun Hesaplanması

Tekerleğin açısal konumu \theta, açısal hızın zamana integral edilmesiyle bulunur. Başlangıçta tekerleğin açısal konumu \theta_0 = 0’dır:

\theta(t) = \int \omega(t) \, dt = \int 10t^2 \, dt = \frac{10}{3}t^3 + C

Başlangıç şartı \theta_0 = 0 olduğundan, C = 0 olur:

\theta(t) = \frac{10}{3}t^3

Bu bulgulara göre, (a) tekerleğin açısal hızı \omega(t) = 10t^2 ve (b) açısal konumu \theta(t) = \frac{10}{3}t^3 olarak bulunur. Bu sonuçlar, tekerleğin etrafındaki ip üzerine zamanla uygulanan doğrusal ivmeye bağlıdır. @Muhammed_Burak_TÜRKY