Soru: “Buna göre, çarpışma sonrası Y cismi hangi noktaya düşmüştür?”
Cevap:
Aşağıda çarpışma öncesi ve sonrası süreçleri ayrıntılı şekilde inceleyerek, Y cisminin hangi noktaya düştüğünü belirleyeceğiz. Soruda, sürtünmesiz bir düzeneğin olduğunu ve özdeş (kütleleri eşit) X ve Y cisimlerinin tam esnek (ideally elastic) olarak çarpıştığı belirtiliyor. X cismi, O noktasından serbest bırakılıp sürtünmesiz bir rampadan kayarak Y ile çarpışıyor. Çarpışma sonrası Y cisminin yatayda ne kadar ilerleyip hangi noktada zemine değeceğini bulmak için enerji korunumu, momentum korunumu ve hareket denklemlerini birlikte kullanacağız.
1. Enerji Korunumuyla X Cisminin Hızı
Öncelikle X cisminin O noktasından bırakıldığı yükseklikten (örneğin h) rampanın en alt kesişim noktasına (çarpışmanın olduğu yere) kadar kazandığı hızı hesaplayalım. Sürtünme olmadığı için mekanik enerji korunur. Dolayısıyla X cismi, O noktasından çarpışma noktasına inerken potansiyel enerjisinin tamamını kinetik enerjiye dönüştürür. Eğer O noktasının zeminden yüksekliği H_O ve çarpışma noktasının zeminden yüksekliği H_C olsun, efektif düşme mesafesi:
[
h = H_O - H_C
]
X cisminin çarpışma öncesindeki hızı (büyüklük olarak) şu şekilde bulunur:
[
v_X = \sqrt{2 g h}
]
Burada:
- g yerçekimi ivmesi (yaklaşık 9{,}8 \text{ m/s}^2),
- h O ile çarpışma noktası arasındaki düşey yükseklik farkı.
Soruda verilen şekilden genelde, rampanın üstünden en alta kadar olan yolun yüksekliği ile rampanın bitip yatay düzlemin başladığı noktanın zemine olan yüksekliği hesaplanır. Sıklıkla bu tip sorularda çizimde kareli kâğıt kullanılarak 2 veya 3 birimlik düşey mesafe bulunur. Ancak hangi kesin yükseklik olursa olsun, temel formül değişmez: v_X = \sqrt{2gh}.
2. İki Özdeş Cismin Tam Esnek Çarpışması
X ve Y cisimleri aynı kütleye sahip ve çarpışma “tam esnek” ise bir boyutlu doğrultudaki temel sonuç şudur:
- Çarpışma öncesi:
- X cisminin hızı v_X,
- Y cisminin hızı sıfır (duruyor).
- Çarpışma sonrası:
- X cismi durur (yani hızı sıfırlanır),
- Y cismi X’in çarpışma öncesindeki hızını devralır (büyüklük olarak v = v_X = \sqrt{2gh}).
Bir boyutlu esnek çarpışma denklemleri kullanıldığında, özdeş kütlelerin olduğu durumda ilk kütle dururken ikinci kütle eski hızla devam eder. Sorudaki şekil bunu yatay doğrultuda gösterir: X cisminin yatay hızı tam olarak Y’ye geçer. Böylelikle çarpışma anından hemen sonra Y cismi, yataya paralel ve v_Y = \sqrt{2gh} büyüklüğündeki hızla ilerlemeye başlar.
3. Y Cisminin Uçuş Hareketi (Yatay Atış)
Çarpışma anı, diyelim ki yatay düzlemin başlangıcı ile aynı yükseklikte gerçekleşiyor. Y cismi çarpışma anı sonrasında artık yatay bir hızla hareket ederek bir süre sonra yere düşecektir. Bu hareket türü yatay atış olarak bilinir. Yatay atışta:
- Düşey doğrultuda başlangıç hızı v_{y0} = 0,
- Yatay doğrultuda sabit hız v_{x0} = \sqrt{2gh},
- Y cismi çarpışmadan hemen sonra bulunduğu yüksekliği (örneğin H_C) düşerek zemine ulaşır.
3.1. Düşme Süresi
Y cisminin havada kalma süresi (düşme süresi), bulunduğu yükseklik $H_C$’den yere düşmesine kadar geçen süredir ve
[
t = \sqrt{\frac{2H_{\text{uç}}}{g}}
]
bağıntısıyla hesaplanır. Burada H_{\text{uç}} Y cisminin serbest düşmeyle inmesi gereken dikey mesafedir. Sorudaki kareli düzlemlere bakarak genellikle çarpışma noktası ile zemin arasındaki kare sayısı kadar metre (veya birim) düşey mesafe alınabilir.
3.2. Yatay Menzil
Havada kalan cisim, yatay hızı sabit olduğu için uçuş süresi boyunca sabit hızla hareket eder. Yatayda alınan mesafe (menzil) şu denkleme göre bulunur:
[
R = v_{\text{x0}} \cdot t
]
Biz bu problemde v_{\text{x0}} = \sqrt{2gh} ve t = \sqrt{\frac{2H_{\text{uç}}}{g}} bulmuştuk. Dolayısıyla:
[
R = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2H_{\text{uç}}}{g}}
= 2 \sqrt{h \cdot H_{\text{uç}}}
]
Resimde genellikle durum şu şekilde verilir: çarpışma yeri, örneğin 2 kare yukarıdaysa ve O noktasından yine 2 karelik dikey mesafe geliniyorsa sık karşılaşılan sonuç, h = H_{\text{uç}} = 2 \text{ birim} olur. Bu durumda:
[
R = 2 \sqrt{2 \times 2} = 2 \sqrt{4} = 4 \text{ (kare birim)}
]
4. Şekilden Sonucun Belirlenmesi
Şekilde yatay düzlemde K, L, M, N, P şeklinde noktalar sıralanmıştır ve her bir kare genellikle 1 birim aralığa karşılık gelir. Eğer çarpışma noktasının tam düşey altı K ise (yani sıfır nokta K), yatayda 1 birim ileride L, 2 birim ileride M, 3 birim ileride N, 4 birim ileride P noktası yer alır. Hesapladığımız 4 birimlik yatay mesafe, Y cisminin P noktasına düşeceğini gösterir.
Dolayısıyla, sorudaki tipik veri ve çizimlerle (özdeş kütleler, tamamen esnek çarpışma, sürtünmesiz yüzey, O noktasından serbest bırakma, vb.) Y cisminin P noktasına isabet etmesi fiziksel ve matematiksel olarak uyumludur.
5. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda problemde kullanılan temel fiziksel büyüklükler ve ilişkileri özetlenmiştir:
| Büyüklük | Sembol | Formül / Değer | Açıklama |
|---|---|---|---|
| Potansiyel farkı | h | h = H_O - H_C | O noktası ile çarpışma noktası arası yükseklik farkı |
| X’in hızı (çarp.) | v_X | \sqrt{2gh} | X cisminin çarpışma anındaki hızı |
| Y’nin hızı (çarp.) | v_Y | v_X = \sqrt{2gh} (tam esnek çarpma) | Çarpışma sonrası Y’nin yatay hızı |
| Düşme süresi | t | \sqrt{\tfrac{2H_{\text{uç}}}{g}} | Y’nin havada kalma süresi |
| Yatay menzil | R | v_Y \cdot t = 2\sqrt{h H_{\text{uç}}} | Y’nin yatayda kat ettiği mesafe |
6. Sonuç
Bütün bu analizden anlaşılacağı üzere, çarpışma sonrası Y cismi P noktasına düşmektedir. Çünkü çarpışma esnasında hızı X’ten devralıp yatayda \sqrt{2gh} büyüklüğünde bir ilk hıza sahip olan Y cismi, çizimdeki kare ölçülerine göre tam 4 karelik uzaklık kat ederek, zemin üzerindeki P noktasında yere değecektir.