Soru: Cisimler P noktasında esnek olmayan çarpışma yaptığına göre, ortak kütle R noktasından kaç m uzağa düşer?
Çözüm:
Aşağıdaki adımlar, her iki cismin (X ve Y) hareketini, çarpışma anındaki hızlarını ve çarpışma sonrasındaki ortak kütlenin yere düşme mesafesini bulmak için izlenir:
1) Başlangıç Bilgileri ve Tanımlar
-
X cismi: Yer seviyesinden 50\,\text{m/s} hızla, 53^\circ açıyla atılıyor.
- Yatay hız bileşeni:
$$v_{xX} = 50 \cos 53^\circ = 50 \times 0{,}6 = 30,\text{m/s}$$ - Düşey hız bileşeni:
$$v_{yX}(\text{başlangıç}) = 50 \sin 53^\circ = 50 \times 0{,}8 = 40,\text{m/s}$$
- Yatay hız bileşeni:
-
Y cismi: Yatay bileşeni olmaksızın (sürat sıfır) serbest bırakılıyor. Şekildeki bilgilere göre Y, çarpışma noktası P’nin tam üzerinde ve P noktasından 45 m yukarıda konumlanmıştır (dolayısıyla toplam yüksekliği X’in atıldığı yerden ölçersek 120\,\text{m} olabilir, ancak kritik olan P’ye kadar 45 m düşmesidir).
-
Yer çekimi ivmesi: g = 10\,\text{m/s}^2
-
Cisimler özdeş (m kütleli) olup çarpışma esnek olmayan (yapışık) çarpışmadır.
2) Çarpışma Zamanının Belirlenmesi
Y cisminin P noktasına 45 m düşmesi için geçen süre:
[
45 = \tfrac12,g,t^2
\quad\Longrightarrow\quad
45 = 5,t^2
\quad\Longrightarrow\quad
t^2 = 9
\quad\Longrightarrow\quad
t = 3,\text{s}.
]
Bu 3\,\text{s} sonunda X de aynı noktada (P’de) bulunmalıdır. Gerçekten de X cisminin 3\,\text{s} içindeki konumu:
- Düşey konum:
[
y_X = v_{yX}(\text{başlangıç}), t - \tfrac12,g,t^2
= 40 \times 3 ;-; 5 \times 9
= 120 - 45 = 75,\text{m}.
] - Yatay konum:
[
x_X = v_{xX},t = 30 \times 3 = 90,\text{m}.
]
Y cismi ise yatay hızı olmadığı için (başlangıçta düşey doğrultuda serbest bırakılıyor) çarpışmada x=90\,\text{m} noktasına denk gelmesi demek, başlangıçta x=90\,\text{m} dikeyinde ve toplamda 45 m yukarıda konumlandığını gösterir. Böylece $t=3,\text{s}$’de iki cisim P noktasında buluşur.
3) Çarpışma Anındaki Hızlar
3.1) X Cisminin Hızı
- Yatay hız (sabit): v_{xX} = 30\,\text{m/s}.
- Düşey hız:
[
v_{yX}(3,\text{s})
= 40 - g\times 3
= 40 - 30
= 10,\text{m/s}\quad(\text{yukarı yönde}).
]
Dolayısıyla, X’in çarpışma anındaki hızı:
[
\vec{v}_X = (30, +10),\text{m/s}.
]
3.2) Y Cisminin Hızı
Y serbest düşme yaptığı için yatay hızı 0, düşey hızı ise:
[
v_{yY} = g \times t = 10 \times 3 = 30,\text{m/s}\quad(\text{aşağı yönde}).
]
Dolayısıyla, Y’nin çarpışma anındaki hızı:
[
\vec{v}_Y = (0, -30),\text{m/s}.
]
4) Esnek Olmayan (Yapışık) Çarpışma Sonrası Ortak Hız
İki cisim çarpışma sonrası birbirine yapıştığından toplam kütle 2m olur. Çarpışma anındaki toplam momentum korunumu:
Yatay Momentum Korunumu
[
m \cdot 30 + m \cdot 0 = (2m),v_{x,\text{ortak}}
\quad\Longrightarrow\quad
v_{x,\text{ortak}} = \frac{30}{2} = 15,\text{m/s}.
]
Düşey Momentum Korunumu
[
m \cdot 10 + m \cdot (-30) = (2m),v_{y,\text{ortak}}
\quad\Longrightarrow\quad
10 - 30 = 2,v_{y,\text{ortak}}
\quad\Longrightarrow\quad
-20 = 2,v_{y,\text{ortak}}
\quad\Longrightarrow\quad
v_{y,\text{ortak}} = -10,\text{m/s}.
]
Böylece çarpışma sonrası ortak kütlenin hızı:
[
\vec{v}_\text{ortak} = (15, -10),\text{m/s}.
]
5) Çarpışmadan Sonra Yere Düşme Mesafesi
Çarpışma noktası P, yerden 75 m yüksekliktedir. Sonraki hareketin başlangıç hızı \,(15, -10)\,\text{m/s}\, olup, düşeyde -10\,\text{m/s} ile başlar ve hızlanarak yere iner. Aşağı yönde hareket denklemi:
[
75 + (-10),t - 5,t^2 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
-10,t - 5,t^2 = -75
\quad\Longrightarrow\quad
5,t^2 + 10,t - 75 = 0.
]
[
t^2 + 2,t - 15 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
t = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2}.
]
Pozitif kök:
[
t = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3,\text{s}.
]
Yatayda ise hız sabit v_{x\,\text{ortak}} = 15\,\text{m/s} kalır. 3 saniyede kat edilen yatay mesafe:
[
x_\text{düşme} = 15 \times 3 = 45,\text{m}.
]
Sonuç: Çarpışma noktasının dikey izdüşümü olan R’den itibaren ortak kütle 45 m uzağa düşer.
Özet Tablo
| Büyüklük | Değer |
|---|---|
| v_{xX} (X cisminin yatay hızı) | 30\,\text{m/s} |
| v_{yX} (X cisminin düşey hızı, çarpışma anı) | +10\,\text{m/s} |
| v_{xY} (Y cisminin yatay hızı) | 0\,\text{m/s} |
| v_{yY} (Y cisminin düşey hızı, çarpışma anı) | -30\,\text{m/s} |
| v_{x\,\text{ortak}} | 15\,\text{m/s} |
| v_{y\,\text{ortak}} | -10\,\text{m/s} |
| Çarpışma Yüksekliği (P) | 75\,\text{m} |
| Yere Düşme Süresi (çarpış. sonrası) | 3\,\text{s} |
| R’den Uzaklık (istenen cevap) | 45 m |
Cevap: 45 m @sorumatikbot