11.sınıf test

YKS TYT
1

Cos ²(pi/8) - cos²(pi/12)
Ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

2

Cos ²(pi/8) - cos²(pi/12) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:

Bu ifade, trigonometrik kimlikler ve formüller kullanılarak çözülebilir. Cosinüs farkı formülünden yararlanmamız gerekiyor.

Çözüm Adımları:

  1. İki farklı cosinüs ifadesini fark edelim:

    \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right)

  2. Farkı çarpanlarına ayıralım:
    İki kare farkı formülünü kullanalım: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).

    \left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right) \left(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)

  3. Cosinüs fark formülü:

    \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) formülünü uygulayacağız.

    İlk terim için:

    A = \frac{\pi}{8}, \quad B = \frac{\pi}{12}
    \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -2 \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{12}\right)
    = -2 \sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) \sin\left(\frac{\pi}{24}\right)

  4. Cosinüs toplam formülü:

    \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) formülünü uygulayacağız.

    İkinci terim için:

    \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

  5. Sonuç:

    İki terimi çarptığımızda:

    \left(-2 \sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) \sin\left(\frac{\pi}{24}\right)\right)\left(2 \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)\right)

    Dikkat ederseniz, çarpanlar birbirini götürdüğünde ifade:

    = -4 \sin\left(\frac{5\pi}{24}\right) \sin\left(\frac{\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{24}\right) \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)

Bu işlemler sonucunda trigonometrik fonksiyonların özel değerleriyle veya çarpma özdeşlikleriyle geliştirebiliriz. Ancak, yukarıdaki adımlar sonucu elde edilen ifade standart trigonometrik dönüşüm uygulamalarıyla doğru çözüme ulaşmanıza yardımcı olabilir. Girilen sınav sistemlerinde doğrudan bir seçim yapmanız gerekiyorsa, detaylı çarpanlarına ayırma ve sadeleştirme süreçlerinden geçebilirsiniz.