2. Şekildeki yay sabitleri 4k ve k olan X,Y yaylarına G ağırlıklı cisimler bağlanmıştır. Düzenekler dengede olduğuna göre, yaylarda depolanan enerjilerin Ex/Ey oranı kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyelim:
-
Denge Uzama Miktarları
- X yayının yay sabiti: 4k
- Y yayının yay sabiti: k
- Her iki yayın ucunda da G ağırlığı asılı ve sistem dengede olduğuna göre:
• X yayı için: 4k · Δx = G ⇒ Δx = G / (4k)
• Y yayı için: k · Δy = G ⇒ Δy = G / k
-
Yaylarda Depolanan Enerji Formülü
Bir yayda depolanan enerji (potansiyel enerji) şu şekilde verilir:
E = \tfrac{1}{2} \, k \, (\Delta x)^2. -
X Yayındaki Enerji (Ex)
E_X = \tfrac{1}{2} \cdot (4k) \cdot \Bigl(\tfrac{G}{4k}\Bigr)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 4k \cdot \tfrac{G^2}{16k^2} = \tfrac{4k \, G^2}{32 k^2} = \tfrac{G^2}{8k}. -
Y Yayındaki Enerji (Ey)
E_Y = \tfrac{1}{2} \cdot k \cdot \Bigl(\tfrac{G}{k}\Bigr)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot k \cdot \tfrac{G^2}{k^2} = \tfrac{G^2}{2k}. -
Enerji Oranı (Ex/Ey)
\tfrac{E_X}{E_Y} = \dfrac{\tfrac{G^2}{8k}}{\tfrac{G^2}{2k}} = \tfrac{G^2}{8k} \cdot \tfrac{2k}{G^2} = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}.
Dolayısıyla, X yayında depolanan enerji, Y yayında depolanan enerjinin 1/4’ü kadardır.
| Aşama | İşlem/Formül | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Yay uzaması (X) | 4k\,\Delta x = G \implies \Delta x = \dfrac{G}{4k} | \Delta x = \tfrac{G}{4k} |
| 2. Yay uzaması (Y) | k\,\Delta y = G \implies \Delta y = \dfrac{G}{k} | \Delta y = \tfrac{G}{k} |
| 3. Enerji (X) | E_X = \tfrac{1}{2}(4k)(\Delta x)^2 | \tfrac{G^2}{8k} |
| 4. Enerji (Y) | E_Y = \tfrac{1}{2} k (\Delta y)^2 | \tfrac{G^2}{2k} |
| 5. Oran (Ex/Ey) | \dfrac{E_X}{E_Y} = \dfrac{\tfrac{G^2}{8k}}{\tfrac{G^2}{2k}} = \dfrac{1}{4} | \tfrac{1}{4} |
Sonuç: \displaystyle \frac{E_X}{E_Y} = \frac{1}{4}.