Zzzzzzzzzzxxxxxxxxxxxxxx

YKS TYT
1

1 ·2 · 3 · 4 · … · n - 1 sayısının sondan 15 basamağı 9’dur.
Buna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?
A) 59
B) 64
C) 69
D) 74
E) 79

2

Soru:
1 · 2 · 3 · 4 · … · (n - 1) sayısının sondan 15 basamağı 9’dur. Buna göre, n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?

Cevap:

Bu tür sorularda, verilen ifadelerle son basamakların düzenini çözmek için çarpanların faktöriyel yapısını ve modüler aritmetiği kullanırız. Özellikle sondan gelen basamak sayısını incelemek için 10’un kuvvetleri dikkate alınır.

Adım Adım Çözüm:

  1. Faktöriyelin Sonundaki 0’lar:
    Çarpım ifadelerinde sondaki basamaklarda 0 oluşması için çarpımda 2 ve 5’in çarpanlarının eşleşmesi gerekir (çünkü 10 = 2 \cdot 5).

    • Yani, sondaki basamakların tamamı 9 olacaksa, o zaman bu çarpımda yeterince çarpan olmadığından hiç 0 oluşamaz.

  2. Sondan 15 Sayının Hepsinin 9 Olması:
    Eğer çarpımda (1 · 2 · … · n - 1), sondan 15 basamak tamamen 9 oluyorsa, bu demektir ki çarpım, 10^k'yi aşmamış. Aksi takdirde son basamaklar arasında 0 görünürdü.

    Öyleyse, son 0’ların sayısı “15.” basamağa kadar ulaşamaz.

  3. Son 0’ları Elde Etme Kuralı (5 ve 2 Çiftleri):
    Faktöriyellerle ilgili bir kural vardır: Sondaki 0’ların sayısı, çarpandaki 5’in kuvvetlerine bağlıdır çünkü 2 her zaman daha fazla bulunur.
    Yani, n! içindeki son sıfırlar şu formülle bulunur:
    $$ \text{son 0 sayısı} = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \dots $$

  4. Verilen Durumu İnceleyelim:
    Sondaki basamakların tamamen 9 olması için son 0 oluşmasını istemiyoruz.
    Bu şu demektir:
    $$\left\lfloor \frac{n - 1}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n - 1}{25} \right\rfloor + \dots = 0$$
    Yani hiçbir 5 çarpanı olmamalı ya da n - 1 mümkün olan en küçük çarpanlar kümesine sahip olmalı.

  5. Seçenekleri Test Edelim:
    Seçenekler arasında n değerlerini kontrol ederek ilerleyelim.

    • A) n = 59:
      n - 1 = 58. Çarpanları arasında 5 bulunmadığı için uygun.
    • B) n = 64:
      n - 1 = 63. Çarpanlar arasında 5 olmadığı için uygun.
    • C) n = 69:
      n - 1 = 68. Çarpanlar uygun.
    • D) n = 74:
      n - 1 = 73. Uygun (5 çarpanı yok). Ancak bu değerden itibaren tutarlılık test edilmelidir.
    • E) n = 79:
      n - 1 = 78. Burada da 5 çarpanı bulunmaz.

  6. Sonuç:
    Doğru yanıt, n = 79 olacaktır. Bu, n - 1 = 78 olduğunda hâlâ çarpanlar arasında 5 bulunmadığı durumdur ve sondan 15 basamağın tamamının 9 olması sağlanır.

Doğru Yanıt: E) 79

@username

3

1 · 2 · 3 · 4 · … · (n − 1) çarpımının (n − 1)! ifadesinin sondan 15 basamağının 9 olması genellikle “son 15 basamak” ifadesiyle kastedilen, sayının “15 tane ardışık 9” ile bitmesidir. Ancak büyük faktöriyel değerler çoğunlukla çok sayıda 10 çarpanı içerir ve bu nedenle sondan (yani sağdan) bakıldığında birçok sıfırla (trailing zeros) biter. Dolayısıyla “sondan 15 basamağı 9’dur” demek, o faktöriyelin en az 15 tane 9 içermesi ama 15 tane sıfır içermemesi (ya da 15. basamaktan itibaren sıfır yerine 9 görülmesi) anlamına gelir.

Aşağıdaki temel gözlemler yapılır:

  1. (n − 1)!’in sonunda en az 15 sıfır bulunmaması gerekir. Çünkü eğer (n − 1)!’de en az 15 tane 5 ve yeterince 2 faktörü varsa, bu sayı en az 15 tane “10” çarpanı içerir ve sondan en az 15 basamak “0” olur, “9” olamaz.

  2. Bir faktöriyeldeki sıfır (10 çarpanı) sayısı, o faktöriyelin kaç tane 5 (ve tabii ki 2) içerdiğine bakar. Formül olarak:

    Bir m sayısının faktöriyelinde (m!) bulunan 5’in üssü miktarı:
    floor(m/5) + floor(m/25) + floor(m/125) + …

    Bu değer 15 veya daha büyük çıkarsa, (m!) en az 15 tane sıfırla biter.

  3. Seçenekleri bu anlayışla (büyükten küçüğe) incelediğimizde:

    • n = 79 → 78! için 5’lerin sayısı:
      floor(78/5) + floor(78/25) = 15 + 3 = 18 (≥ 15) → 78! sondan en az 18 sıfıra sahip olur, bu da “son 15 basamak 9” olamaz.
    • n = 74 → 73! için 5’lerin sayısı:
      floor(73/5) + floor(73/25) = 14 + 2 = 16 (≥ 15) → 73! da en az 16 sıfırla biter.
    • n = 69 → 68! için 5’lerin sayısı:
      floor(68/5) + floor(68/25) = 13 + 2 = 15 (tam 15 sıfır!) → 68! sondan 15 sıfırla biter.
    • n = 64 → 63! için 5’lerin sayısı:
      floor(63/5) + floor(63/25) = 12 + 2 = 14 (15’ten küçük)
      Dolayısıyla 63! sondan 14 sıfırla biter; “15. basamağın 9 olması” hâlâ mümkündür.
    • n = 59 → 58! için 5’lerin sayısı:
      floor(58/5) + floor(58/25) = 11 + 2 = 13 (15’ten küçük) → Bu da adaydır ancak soruda en büyük n istenmektedir.

Böyle sorularda sondan 15 basamağın “999999999999999” olması —diğer bir deyişle, faktöriyelin 15 tane ‘0’ yerine ‘9’ içermesi— genellikle yeterince 5 çarpanı (ve dolayısıyla 10 çarpanı) olmamasıyla sağlanır. Daha yüksek değerlerde (n ≥ 69 gibi) 15 veya daha çok “5” faktörü bulunmaya başladığı için sondan 15 sıfır oluşur.

Sonuç olarak, verilen seçeneklerde bunu mümkün kılan ve en büyük değer
n = 64
olarak bulunur.

@username

4

Smaug_Thorin said 1·2·3·…·(n - 1) sayısının sondan 15 basamağı 9’dur. Buna göre n’in en büyük değeri kaçtır?

Cevap:

Bu tip sorularda (n - 1)! (yani 1’den (n-1)’e kadar çarpım) ifadesinin 10^15 (on üzeri on beş) ile olan ilişkisine bakmak gerekir. Çünkü “sondan 15 basamağı 9” demek, sayı tabanda 10^15 ile ilişkilendirildiğinde:

$$(n-1)! \equiv 999999999999999 \pmod{10^{15}}$$

ya da

$$(n-1)! + 1 \equiv 0 \pmod{10^{15}}$$

anlamına gelir (yani (n-1)! = 10^15·k – 1 biçiminde).

Ancak bir faktöryelin ondalık gösterimde “son 15 basamağının” tamamının 9 olması, (n-1)!’in herhangi bir 5 ve 2 faktörü içermemesi gerekiyormuş gibi bir izlenim bırakır. Gerçekte 5 ve 2 çarpanları fazla olursa, sayının sonunda sıfırlar oluşur ve sayı …0000 diye biter. Dolayısıyla “…999999999999999” gibi bitmesi normal şartlar altında imkânsız görünür. Buna rağmen, bu tarz klasik test soruları genellikle şu mantığı kullanır:

  1. (n-1)! ifadesi, yeterince büyük n için, 10^15’i (yani 2^15 ve 5^15’i) bölecek kadar 2 ve 5 içerir. O zaman sondan 15 basamak 0 olur.
  2. (n-1)! ifadesi, eğer 5^15 çarpanına ulaşmadıysa (5^15 kadar 5 faktörüne sahip değilse), 10^15’e tam bölünemez ve dolayısıyla “son 15 basamağının 9 olması” şeklinde soruda yer alan koşul varsayımsal olarak “(n-1)! ≡ -1 (mod 10^15)” anlamında düşünülür.

Elbette tam anlamıyla “…999999999999999” bitişi klasik faktöryel özellikleriyle çelişiyor. Fakat çoktan seçmeli bu soruda, çözüm yaklaşımı “(n-1)! içinde 5^15 faktörü var mı, yok mu?” sorusuna dayanır:

  • 5^15’in sayıda bulunması için faktöryel içinde en az 15 adet 5 çarpanı gerekir.
  • (n-1)! içindeki 5’lerin sayısı şu formülle bulunur:
    $$\left\lfloor \frac{n-1}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n-1}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n-1}{5^3} \right\rfloor + \dots$$

Bu toplama 15 veya daha büyük çıkarsa (n-1)! sayısı 5^15’i bölecek demektir. Hem de 2 çarpanı bol miktarda olduğu için (n-1)! = 10^15·m formuna (en azından 10^15’i bölecek) yaklaşır. Bu durumda sondan 15 basamak 0 olur, 9 olamaz.

Şimdi, seçenekleri (B, C, D, E) ve (A) toplu bir inceleyelim:

1) n = 79

(n-1) = 78. 78! içindeki 5 sayısı:

  • \lfloor 78/5 \rfloor = 15
  • \lfloor 78/25 \rfloor = 3
  • \lfloor 78/125 \rfloor = 0
    Toplam = 15 + 3 = 18 ≥ 15.
    Dolayısıyla 78! 10^15’i bölecek kadar 5 ve 2 faktörüne sahip, sondan 15 basamağı 0 olur.

2) n = 74

(n-1) = 73. 73! içindeki 5 sayısı:

  • \lfloor 73/5 \rfloor = 14
  • \lfloor 73/25 \rfloor = 2
  • \lfloor 73/125 \rfloor = 0
    Toplam = 16 ≥ 15.
    Dolayısıyla 73! da 10^15’i bölecek kadar faktöre sahip. Yine sondan 15 basamağı 0 olur.

3) n = 69

(n-1) = 68. 68! içindeki 5 sayısı:

  • \lfloor 68/5 \rfloor = 13
  • \lfloor 68/25 \rfloor = 2
  • \lfloor 68/125 \rfloor = 0
    Toplam = 15.
    Bu da 5^15’i (ve fazlasıyla 2^15’i) içerdiğinden 68! yine 10^15’e tam bölünür. Sondan 15 basamak 0.

4) n = 64

(n-1) = 63. 63! içindeki 5 sayısı:

  • \lfloor 63/5 \rfloor = 12
  • \lfloor 63/25 \rfloor = 2
  • \lfloor 63/125 \rfloor = 0
    Toplam = 14 < 15.
    Burada 63! hâlâ 5^15 seviyesine erişemediği için 10^15’i tam bölemez. Dolayısıyla (kuramsal olarak) “…999999999999999” gibi bir kalıntı vermesi bu sorunun mantığına göre mümkün sayılabilir. (Pratikte klasik anlamıyla 63! son 15 hanesi 999999… olmaz; ancak test sorusunun mantığı “5^15 faktörüne ulaşmamışsa, ‘-1 mod 10^m’ gelme ihtimali var” şeklindedir.)

5) n = 59

(n-1) = 58. 58! içindeki 5 sayısı:

  • \lfloor 58/5 \rfloor = 11
  • \lfloor 58/25 \rfloor = 2
  • \lfloor 58/125 \rfloor = 0
    Toplam = 13 < 15.
    58! da 10^15’e tam bölünmez. Fakat soruda “en büyük değer” isteniyor. 59’dan sonra 64 seçeneği de 5^15’e ulaşmamış. Hangisi daha büyük? Elbette 64 > 59.

Fakat 69’dan itibaren (68! ≥ 5^15) yeterli 5 çarpanına ulaşıldığı için 68!, 73!, 78! vb. 10^15’i fazlasıyla böler ve faktöryelin sondan 15 basamağının 0 olacağı düşünülür. Dolayısıyla bu tür sorularda “(n-1)! 10^15 modunda -1 verir mi?” beklentisi teorik olarak en büyük n = 64’de (yani 63!) hâlâ 10^15’i bölecek kadar 5 faktörüne sahip değildir.

Bu nedenle seçenekler arasında en büyük ve “5^15 seviyesine ulaşmamış” değer 64 olduğundan, cevap tipik olarak 64 kabul edilir.

Özet Tablo

n (n-1)! Değerlendirmesi 5 Sayısı (toplam) 10^15’i Böler mi? Sondan 15 Basamağı 9 Olabilir mi? (Test Mantığı)
59 58! 11 + 2 = 13 Hayır Olabilir (fakat daha büyük bir aday var)
64 63! 12 + 2 = 14 Hayır Evet, bu daha büyük aday
69 68! 13 + 2 = 15 Evet (böler) Hayır (son 15 basamak 0)
74 73! 14 + 2 = 16 Evet (böler) Hayır (son 15 basamak 0)
79 78! 15 + 3 = 18 Evet (böler) Hayır (son 15 basamak 0)

Yukarıdaki tabloda “10^15’i böler mi?” kısmında “Evet” olanlar, faktöryelin sonunda en az 15 tane sıfır olduğunu; dolayısıyla sondan 15 basamağın 9 olması gibi bir durumun olanaksız olduğunu ifade eder. “Hayır” olanlar ise bu sorunun varsayımı gereği “…999999999999999” kalıntısına sahip olma ihtimalini açık bırakır. Soruda “en büyük n değeri” sorulduğu için, 64 bu kapsamda doğru yanıt olur.

Sonuç:

  • Verilen şıklar ve “(n-1)! sondan 15 basamağının 9 olması” ifadesinin klasik “faktöryel içinde yeterince 5 (ve 2) varsa sondan sıfır gelir” kuralıyla birlikte incelenmesi sonucunda, en büyük n değeri 64 olarak belirlenir.

@username