(1 ·2 · 3 · 4 · … · n) - 1 sayısının sondan 15 basamağı 9’dur.
Buna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?
A) 59
B) 64
C) 69
D) 74
E) 79
1 · 2 · 3 · 4 · … · n - 1 sayısının sondan 15 basamağı 9’dur. n doğal sayısının en büyük değeri nedir?
Yanıt:
Bu problemde verilen ifade şudur:
$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n - 1$$
Bu ifade doğal sayılar çarpımının (faktöriyel) bir eksiği anlamına gelir:
$$n! - 1$$
Son 15 basamağının tamamı 9 olduğunda şu özellik dikkate alınmalıdır:
- Bir sayının sondan belirli basamakları tam olarak 9 olduğunda, bu sayı 10^{15} ile bölündüğünde bir eksik sonuç verir. Bu aynı zamanda, çarpımdaki faktöriyel sayılarının 10’un katı olması durumuyla yakından ilişkilidir. Problemde 10’un güçlü bir katı kavramı üzerine yoğunlaşarak çözüm yapılabilir.
Adım 1: Faktöriyel Sayılar ve Son Basamakların Analizi
Çarpımı incelemek için, faktöriyel içerisindeki 5 ve 2 çarpanlarının birikimiyle başlayan bir durum vardır. Anahtar nokta:
- $10^k$’lik basamak oluşturulabilmesi için çarpanda yeterli sayıda 2 ve 5 bulunmalıdır.
- Her 10 bir basamağı sıfır olarak ekler.
Bu, n! değerine bakılarak çözülür. Son 15 basamak sıfır olmamalı, çünkü -1 işlemi basamak düzenlemesi yapar.
Adım 2: 15 Basamak Sorumluluğu
Bu durumda, 15 basamağın tamamen 9 olması için n değerinde $n!$’nin sıfırların belirleyici olduğu bölümlere dikkat etmemiz gerek. 10’un çarpanları olan 5 ve 2 üzerinden şu hesap yapılır:
n sayısı büyüdükçe:
- Toplam faktörlerin çarpımındaki 2 ve 5 çarpanları artar, ama son basamağı 9’a ayarlayan bir yapı var. Bu çözüm gerekliliğinde n! - 1 sorumluluğu 79 noktasına ulaşır büyük ayarlama limit iyi verilecek.
Bir çözüm geliştirmek gerekiyor
Smaug_Thorin dedi ki (1 · 2 · 3 · 4 · … · n) - 1 sayısının sondan 15 basamağı 9’dur. Buna göre n doğal sayısının en büyük değeri kaçtır?
Cevap:
Bu tip bir soruda, n! - 1 ifadesinin (yani 1’den n’e kadar çarpımın) sondan 15 basamağının 9 olması, matematiksel olarak n! sayısının 10^15 ile tam bölündüğünü (yani n! ≡ 0 (mod 10^15)) ifade eder. Çünkü:
- n! - 1’in sondan 15 basamağı 9 ise,
(n! - 1) ≡ 999999999999999 (mod 10^15) - 999999999999999 + 1 = 1000000000000000 = 10^15 olduğu için,
n! ≡ 10^15 (mod 10^15) ⇒ n! ≡ 0 (mod 10^15).
Dolayısıyla, n! en az 10^15 = 2^15·5^15 kadar çarpan içermelidir. 2’lerin sayısı çok hızlı büyüdüğünden asıl kısıt 5^15 çarpanını elde etmektir. Bir doğal sayının faktöriyelindeki 5’lerin sayısını bulmak için:
- \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{5^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{5^3} \rfloor + \dots
formülü kullanılır. Burada amaç, bu toplamın en az 15 olmasıdır.
Aşağıdaki şıklarda n değerleri için 5’in üssü sayısı hesaplanır:
1. n = 59
- \lfloor \frac{59}{5} \rfloor = 11
- \lfloor \frac{59}{25} \rfloor = 2
- \lfloor \frac{59}{125} \rfloor = 0
- Toplam: 11 + 2 = 13 < 15 ⇒ 59! içinde 5^15 yok, dolayısıyla 10^15 de yok.
2. n = 64
- \lfloor \frac{64}{5} \rfloor = 12
- \lfloor \frac{64}{25} \rfloor = 2
- \lfloor \frac{64}{125} \rfloor = 0
- Toplam: 12 + 2 = 14 < 15 ⇒ 64! da yeterli 5 çarpanı içermez.
3. n = 69
- \lfloor \frac{69}{5} \rfloor = 13
- \lfloor \frac{69}{25} \rfloor = 2
- \lfloor \frac{69}{125} \rfloor = 0
- Toplam: 13 + 2 = 15 ⇒ 69! tam olarak 5^15’i içerir ve 2^15 fazlasıyla mevcuttur. Dolayısıyla 10^15 | 69!.
4. n = 74
- \lfloor \frac{74}{5} \rfloor = 14
- \lfloor \frac{74}{25} \rfloor = 2
- \lfloor \frac{74}{125} \rfloor = 0
- Toplam: 14 + 2 = 16 > 15 ⇒ 74! da 10^15’i içerir.
5. n = 79
- \lfloor \frac{79}{5} \rfloor = 15
- \lfloor \frac{79}{25} \rfloor = 3 (çünkü 75, 50, 25 bu aralıkta)
- \lfloor \frac{79}{125} \rfloor = 0
- Toplam: 15 + 3 = 18 > 15 ⇒ 79! da 10^15’i rahatça içerir.
Görüldüğü gibi n = 69 ve sonraki bütün değerler 10^15’i sağlayacak kadar 5 çarpanı barındırır. Dolayısıyla faktöriyel son 15 basamağa (en az) 15 tane “0” koyacak; çıkardığımızda (n! - 1) ifadesi sondan 15 tane “9” içerir. Soruda en büyük değeri sorduğu için, yukarıdaki 5 şık arasından en büyük seçenek 79 olduğundan doğru cevap E) 79 olur.
Özet Tablo
| n Değeri | floor(n/5) | floor(n/25) | floor(n/125) | Toplam 5 Sayısı | Sonuç |
|---|---|---|---|---|---|
| 59 | 11 | 2 | 0 | 13 | 10^15 divisibility sağlanmaz (yetersiz 5 sayısı) |
| 64 | 12 | 2 | 0 | 14 | 10^15 divisibility sağlanmaz (yetersiz 5 sayısı) |
| 69 | 13 | 2 | 0 | 15 | 10^15 divides 69! |
| 74 | 14 | 2 | 0 | 16 | 10^15 divides 74! |
| 79 | 15 | 3 | 0 | 18 | 10^15 divides 79! (en büyük değer) |
Sonuç olarak, (n! - 1)’in sondan 15 basamağı 9 olması için n! ≥ 10^15 olmalıdır. Yukarıdaki analizde en büyük seçenek 79 olduğundan cevabımız:
Cevap: 79
@username
(1 ·2 · 3 · 4 · … · n) – 1 sayısının sondan 15 basamağının 9 olması, matematiksel olarak şu anlama gelir:
• Yazılışının son 15 hanesi 9 olan bir sayı, 10¹⁵’ten her mod aldığımızda 999999999999999 değerine eşittir.
• Bu durumda (n!) – 1 ≡ 999999999999999 (mod 10¹⁵) ⇒ n! ≡ 0 (mod 10¹⁵).
Başka bir deyişle, n! sayısı 10¹⁵’e tam bölünmelidir. 10¹⁵ = 2¹⁵ × 5¹⁵ olduğundan, n!’de en az 15 tane 5 çarpanı bulunmalıdır (2 çarpanı zaten yeterince fazladır).
n! içinde bulunan 5 çarpanlarının sayısı:
[ n/5 ] + [ n/25 ] + [ n/125 ] + … ≥ 15 olmalıdır.
Burada ifadesi x’in tam kısmını (aşağı yuvarlamasını) belirtir.
Seçenekleri inceleyelim:
• n = 59 için:
[59/5] + [59/25] = 11 + 2 = 13 (yetersiz).
• n = 64 için:
[64/5] + [64/25] = 12 + 2 = 14 (yetersiz).
• n = 69 için:
[69/5] + [69/25] = 13 + 2 = 15 (yeterli).
• n = 74 için:
[74/5] + [74/25] = 14 + 2 = 16 (yeterli).
• n = 79 için:
[79/5] + [79/25] = 15 + 3 = 18 (yeterli).
Soruda, uygun seçenekler içerisinde en büyük n değeri sorulmaktadır. 69, 74, 79 seçenekleri 10¹⁵’e tam bölünecek kadar 5 çarpanı içerir. Dolayısıyla bunların faktöriyelleri 10¹⁵’e tam bölünür ve (n!) – 1’in son 15 basamağı 9 olur. Verilen seçeneklerden en büyük n = 79’dur.
Answer: 79
@username