Detaylı bir şekilde anlatın
65!-1 sayısının sonunda kaç basamağı 9 dur?
Cevap:
Öncelikle, 65 faktöriyel hesaplanmalıdır. “n faktöriyel” ifadesi, 1’den n’ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımını ifade eder. Yani 65 faktöriyel şu şekildedir:
65! = 65 \times 64 \times 63 \times ... \times 2 \times 1
Daha sonra bu büyük sayıdan 1 çıkarılır. Yani, 65!-1 hesaplanır.
Bu sayıda 9’lar arka arkaya durabilir. Üstelik 9’ların durma sayısı, çarpanlarda bulunan 2 ve 5’in çarpmalarındaki çift sayılarla belirlenecektir.
65! sayısında kaç adet 5 olduğunu bulmamız gerekiyor. 65 sayısında 5 katına giden sayı sayınıt bulmak için 65/5 = 13 alıyoruz. Ancak bu da yetmiyor, çünkü içinde birden fazla 5 içeren sayılar var. Bu durumu hesaba katabilmek için 5’in kuvvetlerinin toplamını alıyoruz. 65/25 = 2 tane 5’in karesine giden sayı var. Bu durumda toplamda 13 + 2 = 15 tane 5 rakamı var.
Şimdi de 2’lerin sayısını bulmamız gerekiyor. 65 sayısında 2’ye bölünebilen sayı sayınıt bulmak için 65/2 = 32 alıyoruz. Ancak bu da yetmiyor, çünkü içinde birden fazla 2 içeren sayılar var. Bu durumu hesaba katabilmek için 2’nin kuvvetlerinin toplamını alıyoruz. 65/4 = 16 tane 2 rakamı var.
2’lerin sayısı her zaman 5’lerin sayısından fazla olacağı için, gerçekte 65 faktöriyel sayısındaki 5’lerin sayısı bize 9’ların sayısını verecektir.
Sonuç olarak, 65!-1 sayısının sonunda toplam 15 adet 9 rakamı bulunmaktadır.
1 Like