Yp5ehgödj

[Havva_Diken]

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Sorunun Çözümü:

Soruyu çözmek için verilen taralı bölgenin alanını adım adım hesaplayalım:

---

Adım 1: Düzgün altıgenin alanı (A_{altıgen})

Bir düzgün altıgenimiz var ve bunun her bir kenar uzunluğu yarıçapla aynı, yani 4 birim. Düzgün bir altıgenin alan formülü:

A_{altıgen} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot (kenar)^2

Burada kenar uzunluğu 4 birim olduğu için:

A_{altıgen} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4^2

A_{altıgen} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24 \sqrt{3} \, \text{birim^2}

---

Adım 2: Büyük çemberlerin alanı (A_{dış\ çember})

Altıgenin her köşesine bir büyük çember çizilmiş ve bu çemberlerin yarıçapı 4 birimdir. Büyük bir çemberin alanı şöyle hesaplanır:

A_{\text{bir\ büyük\ çember}} = \pi r^2

Yarıçap r = 4 olduğundan, çemberin alanı:

A_{\text{bir\ büyük\ çember}} = \pi (4^2) = 16\pi \, \text{birim^2}

Altı tane büyük çember bulunduğundan toplam alan:

A_{\text{dış\ çemberler}} = 6 \cdot 16\pi = 96\pi \, \text{birim^2}

---

Adım 3: İki küçük çemberin alanı (A_{iç\ çember})

İki küçük çemberimiz var ve bu çemberlerin yarıçapı 2 birim. Yarıçapı r = 2 olan bir çemberin alanı hesaplanır:

A_{\text{bir\ küçük\ çember}} = \pi r^2

A_{\text{bir\ küçük\ çember}} = \pi (2^2) = 4\pi \, \text{birim^2}

İki çemberin toplam alanı:

A_{\text{iç\ çemberler}} = 2 \cdot 4\pi = 8\pi \, \text{birim^2}

---

Adım 4: Taralı bölgeyi bulmak

Taralı bölgeyi tüm alanların toplamından çıkarımlar yaparak bulabiliriz. Bu bölgede altıgen içindeki mavi gölge ve çemberlerin kesişim alanı yer aldığı için şu hesaplama yapılır:

• Altıgen içindeki büyük çemberlerin ortak alanı: Çemberlerin kesiştiği kısım altıgenden dışarı taşmıyor. Bu nedenle kesişimin toplamı altıgenin alanı ile ilgilidir.

Taralı bölgeyi bulmak için tüm bölgeleri organize edelim:

• Toplam alan: Dış çemberler + İç çemberler
• Taralı bölge: A_{\text{altıgen}} + A_{\text{çember\ alanları}}

Çözüm işlemi ve sonuç