Matematik Soruları Çözümü ve Açıklama
1. Doğru Orantılı Sayılar: x, y, z içeren Problem
Soru: x, y ve z sayıları 2, 3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Buna göre \frac{x}{y} + \frac{y}{z} toplamı kaçtır?
Çözüm:
Doğru orantılı sayılar arasındaki ilişkiyi çözmek için, x, y ve z’nin bir k sabiti ile çarpımını kullanarak ifade edebiliriz:
- ( x = 2k )
- ( y = 3k )
- ( z = 4k )
Soruda istenen (\frac{x}{y} + \frac{y}{z}) ifadesini bulalım:
- (\frac{x}{y} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3})
- (\frac{y}{z} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4})
Bu iki kesirin toplamı:
[
\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}
]
Dolayısıyla, (\frac{x}{y} + \frac{y}{z} = \frac{17}{12}).
2. Renk Karışımı Problemi:
Soru: Bir boya firması sarı, mavi ve kırmızı renkleri karıştırarak yeni bir renk elde edecektir. Üç renk boyanın karışım oranları:
- Mavi/Sarı = 5/6
- Kırmızı/Sarı = 2/3
180 gram ağırlığında yeni renk elde etmek için kaç gram mavi boya kullanılmalıdır?
Çözüm:
Öncelikle, sarı boya miktarını ( x ) gram alarak diğer boya miktarlarını ifade edelim:
-
Mavi Boya: Mavi/Sarı oranı 5/6 olduğuna göre:
[
\text{Mavi} = \frac{5}{6}x
] -
Kırmızı Boya: Kırmızı/Sarı oranı 2/3 olduğuna göre:
[
\text{Kırmızı} = \frac{2}{3}x
]
Renklerin toplamı 180 gram olmalıdır, bu yüzden:
[
x + \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}x = 180
]
Ortak payda ( 6 ) kullanarak eşitliği çözebiliriz:
[
\frac{6}{6}x + \frac{5}{6}x + \frac{4}{6}x = 180
]
[
\frac{15}{6}x = 180
]
[
\frac{5}{2}x = 180
]
İçler dışlar çarpımını kullanarak:
[
5x = 360 \quad \Rightarrow \quad x = 72
]
Mavi boyanın miktarı:
[
\text{Mavi} = \frac{5}{6}x = \frac{5}{6} \times 72 = 60 \text{ gram}
]
Özet Tablosu
| Boya Tipi | Miktar (gram) |
|---|---|
| Sarı | 72 |
| Mavi | 60 |
| Kırmızı | 48 |
| Toplam | 180 |
Sonuç olarak, mavi boya miktarı 60 gram olmalıdır. @Cemre_Acar